Question

Одна сторона прямоугольного треугольника равна 8см, один катет короче другого на 3см. Периметр треугольника равен 28см. Найдите его катеты.​ даю 20 баллов​

Answer 1

Ответ:

(28-8-3):2=8,5см длина одного катета

8,5+3=11,5см длина второго катета

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, где $a$ - это длина большего катета, а $b$ - длина меньшего катета.

У нас есть два уравнения:

1. Один катет короче другого на 3 см: $a = b + 3$.
2. Периметр треугольника равен 28 см: $a + b + \text{гипотенуза} = 28$.

Мы также знаем, что у нас есть прямоугольный треугольник, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора:

$\text{гипотенуза} = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Теперь мы можем подставить это в уравнение периметра:

$a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 28$.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $a = b + 3$.
2. $a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 28$.

Давайте решим эту систему. Сначала подставим значение $a$ из первого уравнения во второе:

$(b + 3) + b + \sqrt{(b + 3)^2 + b^2} = 28$.

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной, $b$. Мы можем решить его:

$(2b + 3) + \sqrt{(b + 3)^2 + b^2} = 28$.

Теперь выразим $\sqrt{(b + 3)^2 + b^2}$ через $\sqrt{(b + 3)^2 + b^2} = 28 - (2b + 3)$:

$\sqrt{(b + 3)^2 + b^2} = 28 - 2b - 3$.

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(b + 3)^2 + b^2 = (28 - 2b - 3)^2$.

Раскроем скобки:

$b^2 + 6b + 9 + b^2 = (28 - 2b - 3)^2$.

Упростим:

$2b^2 + 6b + 9 = (25 - 2b)^2$.

Раскроем квадрат справа:

$2b^2 + 6b + 9 = 625 - 100b + 4b^2$.

Теперь приведем подобные члены:

$2b^2 + 6b + 9 - 4b^2 + 100b - 625 = 0$.

Упростим еще:

$-2b^2 + 106b - 616 = 0$.

Теперь давайте разделим все коэффициенты на -2, чтобы упростить уравнение:

$b^2 - 53b + 308 = 0$.

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение. Найдем два значения $b$, а затем найдем соответствующие значения $a$ с помощью уравнения $a = b + 3$.

Используем квадратное уравнение:

$b = \frac{-(-53) \pm \sqrt{(-53)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 308}}{2 \cdot 1}$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-53)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 308 = 2809 - 1232 = 1577$