Question

4. В равнобедренной трапеции диагональ перпевцикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если большее основаниеравно 16V3, а один из углов трапеции равен 60°.[8] ​

Answer 1

Ответ:

144√3 ед²

Объяснение:

Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, ∠Т=60°,  КР⊥РТ;  КТ=16√3 . Найти S(КМРТ).

Рассмотрим ΔКРТ - прямоугольный;  ∠РКТ=90-60=30°, значит, РТ=0,5КТ=8√3  по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.

Проведем высоту РН и рассмотрим ΔРТН - прямоугольный;

∠ТРН=90-60=30°, значит, ТН=0,5РТ=4√3 .

Найдем РН по теореме Пифагора:

РН²=РТ²-ТН²=192-148=144;  РН=12.

Найдем МР.  ∠МРК=∠РКН=30° как внутренние накрест лежащие при МР║КТ и секущей КР;  ∠МКР=60-30=30°, значит, ΔКМР - равнобедренный, МР=КМ=8√3 .

S(КМРТ)=(МР+КТ)/2 * РН = (8√3+16√3)/2 * 12=(12√3)*12=144√3 ед²

Answer 2

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, в которой один из углов равен 60°, нам понадобится использовать некоторые геометрические свойства.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB - меньшее основание, CD - большее основание, AD и BC - боковые стороны, а AC - диагональ, перпендикулярная боковой стороне BC.

Так как один из углов трапеции равен 60°, то другой угол также равен 60°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а треугольники ABC и ADC равны по форме.

Теперь, используя свойства треугольника, мы можем найти высоту треугольника ADC, который является равносторонним треугольником (с тремя углами по 60°) и имеет сторону AC, равную боковой стороне BC трапеции.

Зная, что одна сторона равностороннего треугольника равна AC, а другая сторона BC равна 16√3, мы можем найти высоту равностороннего треугольника, используя теорему о треугольнике 30-60-90:

Высота равностороннего треугольника ADC = (1/2) * AC = (1/2) * 16√3 = 8√3.

Теперь у нас есть высота треугольника ADC. Чтобы найти площадь этого треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота.

Площадь треугольника ADC = (1/2) * AC * высота = (1/2) * 16√3 * 8√3 = 64 * 3 = 192.

Теперь у нас есть площадь равностороннего треугольника ADC. Так как трапеция состоит из двух таких треугольников (ADC и BDC) и большего основания CD, площадь всей трапеции равна:

Площадь трапеции = 2 * Площадь треугольника + Площадь CD Площадь трапеции = 2 * 192 + (CD * высота) Площадь трапеции = 384 + (CD * высота).

Теперь нам нужно найти длину большего основания CD. Мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами.

В равностороннем треугольнике ADC у нас есть угол 60° и высота 8√3. Мы можем использовать тригонометрический тангенс (тангенс угла равен противоположей стороне, деленной на прилежащую):

tan(60°) = (8√3) / CD.

Зная, что тангенс 60° равен √3, мы можем решить уравнение:

√3 = (8√3) / CD.

CD = (8√3) / √3 = 8.

Теперь мы знаем длину большего основания CD, которая равна 8.

Таким образом, площадь трапеции равна:

Площадь трапеции = 384 + (8 * 8√3) Площадь трапеции = 384 + 64√3.

Площадь трапеции равна 384 + 64√3 квадратных единиц.