Question

СРОЧНО ДАЮ 15 БАЛЛОВ!!! Около правильного многоугольника, со стороной 8см, описана окружность, радиус которой 4√2 см. Найдите число сторон этого многоугольника и радиус вписанной в него окружности.

Answer 1

Ответ: n=4, r=4 см.

Объяснение:

Пусть a=8 см - длина стороны многоугольника, R=4*√2 - радиус описанной окружности, n - число сторон. Так как R=a/[2*sin(180°/n), то отсюда 2*sin(180°/n)=a/R=√2 и sin(180°/n)=√2/2. Тогда 180°/n=arcsin(√2/2)=45° и n=180/45=4. Значит, данный многоугольник есть квадрат, а радиус r вписанной в него окружности равен половине стороны квадрата: r=a/2=4 см.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно.

Пусть $n$ - число сторон правильного многоугольника, $R$ - радиус описанной окружности, $r$ - радиус вписанной окружности и $s$ - длина стороны многоугольника.

Для правильного многоугольника, вписанного в окружность, радиус $r$ связан с длиной стороны $s$ следующим образом: $r = \frac{s}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$

Для правильного многоугольника, описанного около окружности, радиус $R$ связан с длиной стороны $s$ следующим образом: $R = \frac{s}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$

Мы знаем, что $R = 4\sqrt{2}$ см и $s = 8$ см.

Из условия задачи: $R = 4\sqrt{2}$ $s = 8$

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти $n$ и $r$.

Сначала найдем $n$:

$R = \frac{s}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$ $4\sqrt{2} = \frac{8}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$:

$\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4}$ (так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$) $n = 4$

Теперь найдем $r$ с использованием найденного $n$:

$r = \frac{s}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$ $r = \frac{8}{2 \tan(\frac{\pi}{4})}$

Тангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1, поэтому:

$r = \frac{8}{2 \cdot 1} = 4$ см

Итак, число сторон этого многоугольника $n = 4$ (это квадрат), а радиус вписанной окружности $r = 4$ см.