Question

В равнобедренном треугольнике ABC, основание AC= 5 корень из 2, угол А = 30 градусов. Найдите длину его биссектрисы AD

Answer 1

Ответ: AD=5

Объяснение:

      ∆ АВС - равнобедренный, ⇒ ∠В=180°-2•30°=120°

Продлим СВ и проведем из вершины А перпендикуляр АН. Угол НВА - смежный углу АВС и равен 60°, угол НАВ=30°

     ∆ АСН - прямоугольный, катет АН противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы АС.

АН=АС:2=(5√2):2

    Так как АD - биссектриса, ∠ВАD=30°:2=15°, ⇒  

∠НАD=30°+15°=45°

∆ АНD - прямоугольный, ⇒

Из суммы углов треугольника ∠НDA=∠HAD=45°,

DH=AH=(5√2):2

AD=AH/sin45°=[5√2):2]:√2/2

AD=5

Answer 2

Для нахождения длины биссектрисы AD в равнобедренном треугольнике ABC, где известно, что основание AC = 5√2 и угол A = 30 градусов, мы можем воспользоваться теоремой синусов.

Сначала найдем длину стороны AB. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, так что AB = AC = 5√2.

Теперь мы можем применить теорему синусов к треугольнику ABC:

(sin A) / a = (sin B) / b

Где:

• A - угол при вершине треугольника (в данном случае угол A),
• a - длина стороны противолежащей углу A (в данном случае сторона BC),
• B - угол при вершине, противоположной стороне a (в данном случае угол B),
• b - длина стороны противолежащей углу B (в данном случае сторона AC).

У нас известно, что угол A = 30 градусов, и мы нашли, что сторона AC = 5√2. Теперь мы хотим найти длину стороны BC (сторона противолежащей углу A).

sin(30 градусов) / BC = sin(30 градусов) / (5√2)

Теперь мы можем решить уравнение:

BC = (5√2 * sin(30 градусов)) / sin(30 градусов) BC = 5

Теперь у нас есть длина стороны BC. Для нахождения длины биссектрисы AD, мы можем использовать теорему биссектрисы:

AD = (2 * BC * AB * sin(A/2)) / (BC + AB)

Где:

• BC = 5 (мы только что нашли это значение)
• AB = 5√2 (это длина стороны, которая равна стороне AC)
• A = 30 градусов

Теперь мы можем вставить значения и рассчитать длину биссектрисы AD:

AD = (2 * 5 * 5√2 * sin(30/2)) / (5 + 5√2)

Сначала найдем значение sin(30/2), что равно sin(15 градусов).

sin(15 градусов) = √6 - √2 / 4

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для AD:

AD = (2 * 5 * 5√2 * (√6 - √2 / 4)) / (5 + 5√2)

AD = 10√2 * (√6 - √2 / 4) / (5 + 5√2)

Теперь упростим это выражение:

AD = 10 * (√6 - √2) / (5√2)

Теперь можно упростить числитель:

AD = 2 * (√6 - √2)

Таким образом, длина биссектрисы AD равна 2 * (√6 - √2).