Question

Найти косинусы углов треугольника ABC и установите вид этого треугольника, если А(1;-3;4), в(2;-2;5), C(3;1;3).​

Answer 1

Даны вершины треугольника: А(1;-3;4), В(2;-2;5), C(3;1;3).

Находим векторы и их модули.

АВ = (1; 1; 1), |AB| = √(1² + 1² + 1²) = √3.

BC = (1; 3; -2), |AB| = √(1² + 3² + (-2)²) = √14.

АC = (2; 4; -1), |AB| = √(2² + 4² + (-1)²) = √21.

Косинусы углов находим по формуле:

    cos A = (b² + c² - a²)/(2bc).

Вот результаты расчёта:

Треугольник АВС      

a(ВС) b(АС) c(АВ) p 2p S

3,741657387 4,582575695 1,732050808 5,028141945 10,05628389 3,082207001

14 21 3    

1,286484558 0,44556625 3,296091137 1,889365914 9,5 3,082207001

cos A = 0,629941       cos B = -0,308607       cos С = 0,933139

Аrad = 0,889319       Brad = 1,884524         Сrad = 0,367749

Аgr = 50,954246    Bgr = 107,975284      Сgr = 21,07047.

Answer 2

Для того чтобы найти косинусы углов треугольника ABC, вы можете использовать формулу косинуса для вычисления угла между векторами.

Предположим, что у вас есть два вектора, ведущих от одной из вершин треугольника к двум другим вершинам. Назовем эти векторы a и b. Затем угол между этими векторами можно вычислить следующим образом:

$\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|}$

Где:

• $a \cdot b$ - скалярное произведение векторов a и b.
• $|a|$ - длина вектора a.
• $|b|$ - длина вектора b.

После вычисления косинуса угла ($\cos(\theta)$), вы можете найти сам угол ($\theta$) с помощью обратной функции косинуса (арккосинуса).

Давайте вычислим косинусы углов для треугольника ABC, используя данные координат вершин:

Вектор a: $A(1;-3;4) \rightarrow B(2;-2;5) = (2-1, -2-(-3), 5-4) = (1, 1, 1)$ Вектор b: $A(1;-3;4) \rightarrow C(3;1;3) = (3-1, 1-(-3), 3-4) = (2, 4, -1)$ Вектор c: $B(2;-2;5) \rightarrow C(3;1;3) = (3-2, 1-(-2), 3-5) = (1, 3, -2)$

Теперь вычислим косинусы углов между этими векторами:

1. Косинус угла между векторами a и b: $\cos(\theta_{AB}) = \frac{(1, 1, 1) \cdot (2, 4, -1)}{\| (1, 1, 1) \| \| (2, 4, -1) \|}$

2. Косинус угла между векторами a и c: $\cos(\theta_{AC}) = \frac{(1, 1, 1) \cdot (1, 3, -2)}{\| (1, 1, 1) \| \| (1, 3, -2) \|}$

3. Косинус угла между векторами b и c: $\cos(\theta_{BC}) = \frac{(2, 4, -1) \cdot (1, 3, -2)}{\| (2, 4, -1) \| \| (1, 3, -2) \|}$

Теперь вы можете вычислить углы $\theta_{AB}$, $\theta_{AC}$ и $\theta_{BC}$, используя арккосинус для каждого косинуса:

1. $\theta_{AB} = \arccos(\cos(\theta_{AB}))$
2. $\theta_{AC} = \arccos(\cos(\theta_{AC}))$
3. $\theta_{BC} = \arccos(\cos(\theta_{BC}))$

Для определения вида треугольника сравните найденные углы с 90 градусами (прямой угол), 180 градусами (тупой угол) и 60 градусами (острый угол):

• Если все углы оказываются меньше 90 градусов, то это остроугольный треугольник.
• Если один из углов равен 90 градусам, то это прямоугольный треугольник.
• Если один из углов больше 90 градусов, то это тупоугольный треугольник.

Вычислите значения углов и определите вид треугольника на основе результатов.