Question

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные 9 и 16. Найдите все остальные отрезки в этом треугольнике.

Answer 1

• Пусть ΔABC - прямоугольный, где ∠C = 90° и AB - гипотенуза, тогда CH - высота (AH = 9, HB = 16)

• AB = AH + HB = 9 + 16 = 25

• Найдём катет AC:

По метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике:

AC² = AH * AB, ⇒ AC = √(AH * AB)

AC = √(9 * 25) = √225 = 15

• По теореме Пифагора:

AB² = AC² + BC², ⇒ BC = √(AB² - AC²)

BC = √(625 - 225) = √400 = 20

Ответ: катет AC = 15, катет BC = 20, гипотенуза AB = 25

Answer 2

Давайте обозначим остальные отрезки в этом прямоугольном треугольнике. Пусть вершина прямого угла обозначается как C, а основания высоты обозначаются как A и B, где AB - это гипотенуза, AC = 9 и BC = 16.

Мы знаем, что высота, проведенная из вершины прямого угла, делит прямой угол на два подтреугольника, и эти подтреугольники подобны всему треугольнику. Таким образом, мы можем использовать подобие треугольников для нахождения остальных отрезков.

1. Подтреугольник ACB (меньший подобный всему треугольнику ABC):

Отношение сторон подобных треугольников равно отношению их высот. Таким образом:

ACB / ABC = AC / AB

ACB / 25 (гипотенуза всего треугольника) = 9 / (9 + 16)

ACB / 25 = 9 / 25

ACB = 9

2. Подтреугольник ACH (меньший подобный всему треугольнику ABC):

Отношение сторон подобных треугольников также равно отношению их высот. Таким образом:

ACH / ABC = CH / CB

ACH / 25 = 9 / 16

ACH = (9/16) * 25

ACH = 14.0625

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника ABC:

• AC = 9
• BC = 16
• AB = 25
• ACB = 9
• ACH = 14.0625

Таким образом, вы нашли все остальные отрезки в данном треугольнике.