Question

Помогите пожалуйста 3. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1 а) Точки E и F ‒ середины ребер B1C1 и А1 В1 соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые сонаправлены с EF . b) Объясните, какие из векторов компланарны AA1 , CC1 , BB1 или AB, AD, AA1

Answer 1

Ответ:

а)

$\boxed{ \boxed{ \overrightarrow{EF} \uparrow\uparrow \overrightarrow{C_{1}A_{1}} \uparrow\uparrow \overrightarrow{CA} }}$

б)

$\boxed{\boxed{\overrightarrow{AA_{1}}, \overrightarrow{CC_{1}}, \overrightarrow{BB_{1}}}}$

Объяснение:

а)

По определению сонаправленные векторы - это коллинеарные  векторы имеющие одинаковое направление.

По определению коллинеарные  векторы - не нулевые векторы лежащие на параллельных прямых.

Вектор $\overrightarrow{EF}$.

Проведем отрезок $A_{1}C_{1}$. И $\boxed{A_{1}C_{1} \parallel EF}$ так как по условию точки E и F ‒ середины ребер $B_{1}C_{1}, A_{1}B_{1}$ соответственно, тогда по определению в треугольнике $зA_{1}B_{1}C_{1}$ - отрезок EF - средняя линия, тогда по свойствам средней линии она параллельна стороне треугольника с которой не имеет общих точек.

Тогда $\overrightarrow{EF} \uparrow\uparrow \overrightarrow{C_{1}A_{1}}$.

Так как противоположные ребра параллелепипеда - параллельны по свойствам параллелепипеда, тогда так как по условию $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - параллелепипед, то $\boxed{AA_{1} \parallel CC_{1}}$.

Так как $AA_{1} \parallel CC_{1}$ и $AA_{1} = CC_{1}$ по свойствам параллелепипеда

($ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$), то по теореме-признаку $AA_{1}C_{1}C$ -параллелограмм, тогда по определению параллелограмма $A_{1}C_{1} \parallel AC$, то есть $\overrightarrow{C_{1}A_{1}} \uparrow\uparrow \overrightarrow{CA}$  и так как $\overrightarrow{EF} \uparrow\uparrow \overrightarrow{C_{1}A_{1}}$, то:

$\boxed{ \boxed{ \overrightarrow{EF} \uparrow\uparrow \overrightarrow{C_{1}A_{1}} \uparrow\uparrow \overrightarrow{CA} }}$

б)

По определению тройку векторов называют компларной, если равные им векторы, которые имеют общее начало лежат в одной плоскости.

По следствию из определения компларности векторов:

Если из трех данных векторов найдутся два коллинеарных вектора, то эти три вектора являются компларными.

Так как противоположные ребра параллелепипеда - параллельны по свойствам параллелепипеда, тогда $AA_{1} \parallel BB_{1}$, то есть соответствующие векторы $\overrightarrow{AA_{1}} ,\overrightarrow{ BB_{1}}$ - коллинеарны, то есть по следствию из определения компларных векторов, тройка векторов $\overrightarrow{AA_{1}}, \overrightarrow{CC_{1}}, \overrightarrow{BB_{1}}$ - компларны.

А векторы $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_{1}}$ - имеют общую точку, но при этом лежат в разных плоскостях, следовательно не являются компларными.

Answer 2

a) Для нахождения векторов сонаправленных с EF, мы можем воспользоваться координатами точек E и F.

Пусть точка E находится посередине ребра B1C1, а точка F находится посередине ребра A1B1. Пусть векторы EB1 и FB1 направлены от точек E и F соответственно к точкам B1. Тогда вектор EF будет равен разности векторов FB1 и EB1:

EF = FB1 - EB1

Для нахождения векторов, начинающихся в вершинах параллелепипеда и сонаправленных с EF, мы можем добавить вектор EF к векторам, начинающимся в вершинах параллелепипеда:

1. Вектор, начинающийся в точке A: EA = EF + FA1 + AA1
2. Вектор, начинающийся в точке B: EB = EF + FB1 + BB1
3. Вектор, начинающийся в точке C: EC = EF + FC1 + CC1
4. Вектор, начинающийся в точке D: ED = EF + FD1 + DD1

b) Чтобы определить, какие из векторов компланарны AA1, CC1, BB1 или AB, AD, AA1, давайте рассмотрим их взаимное положение. Для этого рассмотрим тройки векторов и используем правило определителя для проверки их компланарности.

1. Вектора AA1, CC1 и BB1: Они являются векторами, соединяющими противоположные вершины параллелепипеда. Такие векторы всегда компланарны, так как они лежат в одной плоскости, определенной вершинами параллелепипеда.

2. Вектора AB, AD и AA1: Вектора AB и AD соединяют вершины A и B, A и D соответственно. Вектор AA1 соединяет вершины A и A1. Таким образом, векторы AB, AD и AA1 также компланарны, так как они лежат в одной плоскости, определенной вершинами A, B, D и A1.

Таким образом, все рассмотренные векторы компланарны друг с другом, так как они соединяют вершины параллелепипеда или его средние точки и лежат в одной плоскости.