Question

В треугольнике PDF точка Е лежит на стороне DF, так что угол PEF острый. Докажите, что PD > PE.

Answer 1

Для того чтобы доказать, что PD > PE, нужно из вершины P провести перпендикуляр, для того чтобы получить два прямоугольных треугольника PKE и PKD, для которых PE и PD будут являться гипотенузами. Далее воспользуемся теоремой Пифагора, о именно сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, соотвественно для двух треугольников катет PK - общий и остаётся сравнить второй катет этих двух треугольников. Катет KE для треугольника PKE меньше катета KD треугольника PKD, а это в свою очередь подтверждает то, что PD > PE

Answer 2

Для доказательства неравенства PD > PE в данном треугольнике PDF, мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Теорема косинусов гласит:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C),

где c - длина стороны напротив угла C, а a и b - длины двух других сторон.

В нашем случае треугольник PEF имеет стороны PE, EF и PF, а треугольник PFD имеет стороны PD, DF и PF.

Обратите внимание, что угол PEF острый, и поэтому cos(PEF) > 0. Пусть угол PEF равен α.

Применяя теорему косинусов к треугольнику PEF:

PE² = EF² + PF² - 2 * EF * PF * cos(α).

Аналогично, для треугольника PFD:

PD² = DF² + PF² - 2 * DF * PF * cos(α).

Теперь давайте выразим EF и DF в терминах PF из этих двух уравнений:

EF² = PE² - PF² + 2 * EF * PF * cos(α).

DF² = PD² - PF² + 2 * DF * PF * cos(α).

Теперь давайте вычтем второе уравнение из первого:

PE² - DF² = (EF² - DF²) + 2 * PF * (EF * cos(α) - DF * cos(α)).

Заметим, что в скобках стоит разность EF * cos(α) и DF * cos(α). Поскольку cos(α) положителен, разность также будет положительной.

PE² - DF² > (EF² - DF²).

Следовательно, PE² - DF² > 0, и, если мы извлечем квадратный корень из обеих сторон, получим:

PE > DF.

Теперь мы видим, что PD² > PE² (поскольку мы выразили DF² через PD²), и, следовательно, PD > PE.

Таким образом, мы доказали, что PD > PE в треугольнике PDF.