Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковая грань наклонена к основанию под углом 60 градусов. Найдите объём пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано: SABC - прав.∆пирамида,

@=60,. AB=a

V=?

Решение:

Vпир= 1/3*Sосн*h

В основании лежит правильный ∆, точка М , высоты SM, находится на пересечении медиан, которые являются биссектрисами и высотами к противолежащим сторонам ∆, а медианы точкой M пересечения делятся в соотношении 2:1 от вершины,

m=a√3/2

МА= 2/3*m=2/3*a√3/2= a√3/3

@=60

h=MA/tg60=a√3/3tg60=a√3/3√3=a/3

Sосн=1/2*am=1/2*a*a√3/2=a^2√3/4

V=1/3*Sосн*h

V=1/3*a^2√3/4*a/3=a^3√3/36

Answer 2

Это можно решить, используя формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$

Где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды.

Для правильной треугольной пирамиды с углом наклона 60 градусов, мы можем воспользоваться тригонометрией. Поскольку у нас есть равносторонний треугольник, высота равна $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$, где $a$ - длина стороны основания.

Теперь мы можем подставить это значение высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$

Сократим и упростим:

$V = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot a^3$

Так что объем этой пирамиды равен $\frac{\sqrt{3}}{12} \cdot a^3$.