Question

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.​

Answer 1

Ответ:12 см

Объяснение:

Из условия известно, что один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Для того, чтобы найти гипотенузу треугольника составим и решим линейное уравнение.

Давайте прежде всего найдем градусную меру третьего угла треугольника:

180° - 60° - 90° = 30° третий угол треугольника.

Обозначим с помощью переменной x длину меньшего катета. Меньший катет лежит напротив меньшего угла. Катет лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы.

Тогда гипотенузу можно записать как 2x.

2x + x = 18;

3x = 18;

x = 6 см меньший катет, тогда гипотенуза треугольника равна 2 * 6 = 12 см.

Answer 2

Давайте обозначим гипотенузу как "c", больший катет как "a" и меньший катет как "b". Мы знаем, что один из углов прямоугольного треугольника равен 60°.

С учетом этого у нас есть следующие соотношения между сторонами и углами:

1. Так как угол равен 60°, то соответствующий катет (маленький катет) "b" против этого угла можно найти с использованием тригонометрической функции тангенс:

   $\tan(60°) = \frac{b}{a}$

   $\frac{\sqrt{3}}{1} = \frac{b}{a}$

   $b = a\sqrt{3}$

2. Мы также знаем, что "c" (гипотенуза) и "a" (больший катет) связаны следующим образом:

   $c = a + 18$ (по условию)

3. Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нашего треугольника:

   $c^2 = a^2 + b^2$

   Подставляя выражения из пунктов 1 и 2:

   $(a + 18)^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2$

   Раскроем скобки и упростим:

   $a^2 + 36a + 324 = a^2 + 3a^2$

   $324 = 3a^2 - 36a$

   $3a^2 - 36a - 324 = 0$

4. Теперь решим квадратное уравнение:

   Для упрощения, мы можем разделить все члены на 3:

   $a^2 - 12a - 108 = 0$

   Теперь решим это уравнение. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

   $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   В данном случае, $a = 1$, $b = -12$, и $c = -108$. Подставим эти значения в формулу:

   $a = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(-108)}}{2(1)}$

   $a = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 432}}{2}$

   $a = \frac{12 \pm \sqrt{576}}{2}$

   $a = \frac{12 \pm 24}{2}$

   Теперь рассмотрим два случая:

   a) $a = \frac{12 + 24}{2} = 18$

   b) $a = \frac{12 - 24}{2} = -6$

Отрицательное значение катета не имеет смысла в данном контексте, поэтому мы выбираем положительное значение $a$, которое равно 18 см.

Теперь мы можем найти значение гипотенузы $c$:

$c = a + 18 = 18 + 18 = 36$ см

И значение меньшего катета $b$ равно:

$b = a\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см

Итак, гипотенуза равна 36 см, а меньший катет равен $18\sqrt{3}$ см.