Question

З Расстояние между центрами двух окружностей равно 6 см. Определи расположены эти окружности, если их радиусы равны 4 см и 5 см. Сделапоясните ответ​

Answer 1

Окружности пересекаются.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника, образованного центрами окружностей и точкой пересечения их радиусов.

Обозначим радиусы окружностей как $r_1 = 4 \, \text{см}$ и $r_2 = 5 \, \text{см}$, а расстояние между их центрами как $d = 6 \, \text{см}$.

Теорема косинусов утверждает, что для треугольника с сторонами $a$, $b$ и $c$ и углом $C$ противоположным стороне $c$ верно следующее:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$

В нашем случае треугольник образован радиусами двух окружностей и отрезком между их центрами. Обозначим угол между радиусами как $\angle AOB$, где $OA = r_1$, $OB = r_2$ и $AB = d$.

Применяя теорему косинусов к этому треугольнику, мы можем записать:

$d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения:

$6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\angle AOB)$

Решим это уравнение для $\cos(\angle AOB)$:

$36 = 16 + 25 - 40 \cdot \cos(\angle AOB)$ $36 = 41 - 40 \cdot \cos(\angle AOB)$ $40 \cdot \cos(\angle AOB) = 5$ $\cos(\angle AOB) = \frac{1}{8}$

Теперь найдем угол $\angle AOB$ с помощью арккосинуса:

$\angle AOB = \arccos\left(\frac{1}{8}\right) \approx 82.79^\circ$

Таким образом, окружности расположены под углом около $82.79^\circ$ друг к другу.