Question

Срочно пожалуйста!!!!! Из середины гипотенузы прямоугольного треугольника восставлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соеденена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2:1 (большая часть - при гипотенузе). Найдите этот угол, укажите в ответе точное количество градусов.

Answer 1

AM=MB, MN⊥AB

(MN - серединный перпендикуляр к AB)

△AMN=△BMN (по двум катетам) => AN=BN

(Доказали, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.)

△ANB - р/б (AN=BN) => ∠BAN=∠B (углы при основании р/б треугольника)

Пусть ∠B=∠BAN=2a, ∠CAN=a

тогда ∠CAB=3a

∠CAB +∠B =90° (сумма острых углов прямоугольного треугольника)

3a +2a =90° => a =90°/5 =18°

∠CAB =18° *3 =54°

Answer 2

Давайте обозначим данное в задаче следующим образом:

• Пусть A, B и C - вершины прямоугольного треугольника, где C - прямой угол.
• Пусть AB - гипотенуза, AC и BC - катеты.
• Пусть M - середина гипотенузы AB, N - точка пересечения перпендикуляра из M с катетом AC.
• Пусть P - точка, в которой соединены N и конец катета BC.

Таким образом, у нас есть два треугольника: треугольник AMN и треугольник MPB.

Из условия задачи у нас есть следующие соотношения длин сторон:

1. MN/MC = 2/1 (по условию "большая часть - при гипотенузе").

2. Мы также можем сказать, что треугольники AMN и MPB подобны, так как угол AMN равен углу MPB (оба прямые), и углы ANM и MBP равны (так как они оба перпендикулярны к AC). Это означает, что:

   AM/MP = AN/PB = MN/MB.

Сначала найдем отношение MN/MB:

MN/MB = AM/MP = 2/1 (из подобия треугольников).

Теперь, учитывая, что AM + MN = AN, и AN = AC/2 (половина гипотенузы, так как M - середина), у нас есть:

AM + 2 = AC/2.

AM = AC/2 - 2.

Теперь, учитывая, что MB = BC - CM = BC - AC/2, мы можем записать отношение MN/MB:

2/BC - 4/AC = 2/1.

Это соотношение позволяет нам связать длины сторон треугольника ABC.

Теперь обратимся к тригонометрическим функциям для прямоугольного треугольника ABC:

• sin(ACB) = BC/AB = BC/√(AC^2 + BC^2).
• cos(ACB) = AC/AB = AC/√(AC^2 + BC^2).

Мы уже выразили AM через AC. Теперь подставим AM и MB в наше соотношение MN/MB:

2/(BC - AC/2) - 4/AC = 2.

Упрощаем:

4AC - 8 = 2(BC - AC/2).

4AC - 8 = 2BC - AC.

3AC - 8 = 2BC.

Теперь мы можем подставить выражение для cos(ACB):

3AC - 8 = 2BC. 3AC = 2BC + 8.

cos(ACB) = AC/√(AC^2 + BC^2) = (2BC + 8)/√(AC^2 + BC^2).

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. 2/(BC - AC/2) - 4/AC = 2.
2. cos(ACB) = (2BC + 8)/√(AC^2 + BC^2).

Решение этой системы уравнений даст нам значение cos(ACB), а затем мы сможем найти ACB (угол треугольника).