Question

Из середины гипотенузы проведен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2 : 5 (меньшая часть – при гипотенузе). Найдите этот угол.

Answer 1

Решение на фото//////////

Answer 2

Пусть гипотенуза треугольника равна c, а катеты равны a и b.

Из условия задачи из середины гипотенузы проведен перпендикуляр до пересечения с катетом. Обозначим точку пересечения как D.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b выполняется следующее равенство:

c^2 = a^2 + b^2

Так как перпендикуляр делит гипотенузу пополам, то CD = c/2.

По условию задачи точка D соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2:5. Обозначим точку пересечения этого отрезка с катетом как E.

Пусть угол между катетом b и отрезком DE равен α. Тогда угол между катетом a и отрезком DE равен 5α (по условию задачи).

Из пропорции отношения углов 2:5 получаем:

α/(5α) = DE/b

1/5 = DE/b

DE = b/5

Теперь рассмотрим треугольник DCE. В нем угол CDE равен 90° (поскольку CD - перпендикуляр к катету b), угол DCE равен α (по условию задачи), а сторона DE равна b/5.

Из суммы углов треугольника получаем:

90° + α + угол CED = 180°

угол CED = 180° - 90° - α = 90° - α

Так как углы треугольника в сумме дают 180°, то угол CED равен 180° - угол CDE - угол DCE.

Угол CDE равен 90°, угол DCE равен α, следовательно:

угол CED = 180° - 90° - α = 90° - α

Таким образом, мы нашли угол CED, который равен 90° - α.