Question

СРОЧНО, ДАМ 100 БАЛЛОВ!!! Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника равен 6. Найдите: а) сторону треугольника; б) радиус вписанной окружности; в) площадь треугольника.

Answer 1

Ответ:

а) сторона $6\sqrt{3}$

б) $r= 3$

в) $S=27\sqrt{3}$

Объяснение:

Угол COB = 120 градусов, так как треугольник равносторонний, OB = OC = радиусу = 6

По теореме косинусов находим BC

$BC = \sqrt{BO^{2} + CO^{2} - 2*BO*CO*cos(BOC)} \\BC = \sqrt{6^{2}+6^{2}-2*6*6*(-0.5)} = \sqrt{36+36+36} = 6 \sqrt{3}$

Теперь найдём площадь

$S= \frac{1}{2} AB*BC*sin(60)\\S= \frac{1}{2} *6\sqrt{3} *6\sqrt{3} * \frac{\sqrt{3} }{2} =27\sqrt{3}$

Радиус вписанной окружности по стандартной формуле

$r=\frac{2S}{AB+BC+CD} \\r= \frac{2*27\sqrt{3}}{3*6\sqrt{3} } =3$

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся некоторыми свойствами равностороннего треугольника.

a) Сторона равностороннего треугольника (a) равна радиусу описанной окружности. В данном случае, a = 6.

б) Радиус вписанной окружности равно одной трети высоты равностороннего треугольника. Так как у нас уже есть сторона треугольника (a), мы можем найти высоту (h) с помощью теоремы Пифагора:

h = √(a^2 - (a/2)^2) = √(6^2 - 3^2) = √(36 - 9) = √27 = 3√3.

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности (r) как одну треть высоты:

r = (1/3) * h = (1/3) * (3√3) = √3.

в) Площадь равностороннего треугольника можно найти, используя формулу:

Площадь = (a^2 * √3) / 4,

где a - сторона треугольника. В данном случае:

Площадь = (6^2 * √3) / 4 = (36 * √3) / 4 = 9√3.

Итак, ответы на ваши вопросы:

а) Сторона треугольника равна 6. б) Радиус вписанной окружности равен √3. в) Площадь треугольника равна 9√3.