Question

Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1

Answer 1

Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1.

Решение.

1) Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел : равнобедренный ΔАВС , высота ВН ,  точка О-центр вписанной окружности. К-точка касания окружности со стороной АВ. По условию ОН=ОК=1 ед.

Пусть ВН=h  , AH=R.  Vкон=1/3*Sосн*h  ,  Sосн=π*R²

Выразим объём  через высоту конуса.

Отрезок ВО=ВН-ОН=h-1

По т. Пифагора  , ΔABH ,  АВ²=АН²+ВН²=R²+h² .

2) ΔКВО~ ΔHBA  по двум углам(∠В-общий,∠ВКО=АНВ=90° тк радиус перпендикулярен касательной , проведенной в точку касания).

Значит КО:АН=ВО:АВ или 1:R=(h-1): √(R²+h²) ⇒ R²=$\displaystyle \frac{h^{2} }{(h-1)^{2} -1 }$ .

3) V(h)=  $\displaystyle \frac{1}{3} *\pi *\frac{h^{2} }{(h-1)^{2}-1 }*h$ =  $\displaystyle \frac{\pi }{3} *\frac{h^{3} }{h^{2}-2h }$  = $\displaystyle \frac{ \pi *h^{3} }{3h^{2}-6h }$ .

V' = $></p> <p>   =<img src=$   , V'=0,   при  h=4 .

V'  _  _  _  _(4) +  +  +  +  

V       ↓                    ↑  ,         значит  h=4  точка минимума. Наименьший объём достигается  в точке минимума .

V  = $\displaystyle \frac{ \pi *4^{3} }{3*4^{2}-6*4 }$  ⇒  V=$\displaystyle \frac{8\pi }{3}$ ед³ .

Answer 2

Для нахождения наименьшего объема конуса, в который вписан шар, мы можем использовать принцип оптимизации. По определению, шар будет вписан в конус, если его центр находится в вершине конуса и шар касается боковой поверхности конуса. Таким образом, нам нужно найти такие параметры конуса, при которых его объем минимален.

Давайте обозначим параметры конуса:

• R - радиус основания конуса,
• H - высота конуса.

Теперь мы знаем, что радиус шара равен 1. Это также равно расстоянию от центра конуса до точки на его боковой поверхности. С учетом этой информации, мы можем использовать подобие треугольников для поиска связи между R и H:

Copy code
R / H = 1 / r,

где r - радиус шара (r = 1).

Мы хотим найти наименьший объем конуса, поэтому мы должны найти R и H такие, чтобы минимизировать объем V конуса:

makefileCopy code
V = (1/3) * π * R^2 * H.

Теперь мы можем выразить H через R с использованием подобия треугольников:

makefileCopy code
H = R / r = R / 1 = R.

Теперь мы можем записать объем V в терминах R:

scssCopy code
V = (1/3) * π * R^2 * R = (1/3) * π * R^3.

Чтобы найти минимальный объем конуса, мы можем найти производную по R и приравнять ее к нулю:

bashCopy code
dV/dR = π * R^2 = 0.

Из этого следует, что R = 0. Это не имеет физического смысла, поэтому минимальный объем конуса, в который вписан шар с радиусом 1, будет равен нулю.

Таким образом, ответ: наименьший объем конуса равен 0.