Question

В прямоугольном треугольнике abc с катетом bc=20 и гипотенузой ab=101 проведены биссектриса и медиана угла А. Найдите тангес угла между ними.

Answer 1

Ответ:

tg∠FAM = 0,001

Объяснение:

Дано: ∠ACB = 90°, CM = MB, AB = 101, BC = 20,∠CAF = ∠BAF

Найти: tg∠FAM - ?

Решение: Так как по условию угол ∠ACB = 90°, то треугольник ΔACB - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:  

$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2} } = \sqrt{101^{2} - 20^{2} } = \sqrt{10 201 - 400} = \sqrt{9801} = 99.$

Так как по условию CM = MB и CM + MB = CB, то CM = MB = CB : 2 =

= 20 : 2 = 10. Рассмотрим прямоугольный (по условию ∠ACB = 90°) треугольник ΔACM. tg ∠CMA = $\frac{AC}{CM} = \frac{99}{10} = 9,9$. CB = CF + FB ⇒ CF =

= CB - FB = 20 - FB. По теореме о биссектрисе для треугольника ΔACB (AF - биссектриса по условию): $\frac{AC}{AB} = \frac{CF}{FB} \Longrightarrow AC * FB = AB * CF$.

AC * FB = AB * (20 - FB)

99FB = 101(20 - FB)

99FB = 2020 - 101FB

200FB = 2020|:200

FB = 10,1

CF = 20 - FB = 20 - 10,1 = 9,9.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔACF. tg∠CFA = $\frac{AC}{CF} = \frac{99}{9,9} = 10$.

Угол ∠CFA смежный с углом ∠BFA, тогда по свойству смежных углов

∠CFA + ∠BFA = 180° ⇒ ∠BFA =  180° - ∠CFA. Рассмотрим треугольник ΔFAM. По теореме про сумму углов треугольника:

∠FAM + ∠AFM + ∠FMA = 180°;      

∠FAM + 180° - ∠CFA + ∠FMA = 180°;

∠FAM = ∠CFA - ∠FMA

tg(∠FAM) = tg(∠CFA - ∠FMA) = $\frac{\text{tg} \angle CFA - \text{tg} \angle FMA}{1 + \text{tg} \angle CFA*\text{tg} \angle FMA} =\frac{10 - 9,9}{1 + 10*9,9} = \frac{0,1}{100} = 0,001$.

Answer 2

Для начала найдем синус и косинус угла между биссектрисой и медианой угла A в прямоугольном треугольнике ABC. Это поможет нам вычислить тангенс этого угла.

Для прямоугольного треугольника ABC с катетом BC = 20 и гипотенузой AB = 101, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения второго катета:

AC² = AB² - BC² AC² = 101² - 20² AC² = 10201 - 400 AC² = 9801 AC = √9801 AC = 99

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника: AB = 101, BC = 20 и AC = 99.

Биссектриса угла A разделит угол A на два равных угла, каждый из которых будет составлять A/2. Медиана, проведенная из вершины угла A, разделит этот угол на две равные части, так что каждая из них составит угол A/2.

Синус угла A/2 можно найти, разделив половину длины биссектрисы на гипотенузу:

sin(A/2) = (1/2) * (BC / AC) = (1/2) * (20 / 99) = 10/99

Теперь мы можем найти косинус угла A/2, используя теорему Пифагора:

cos(A/2) = √(1 - sin²(A/2)) = √(1 - (10/99)²) = √(1 - 100/9801) = √(9801/9801 - 100/9801) = √(9701/9801)

Теперь, чтобы найти тангенс угла между биссектрисой и медианой угла A, мы можем воспользоваться тригонометричким тождеством:

tan(угол между биссектрисой и медианой угла A) = sin(A/2) / cos(A/2) = (10/99) / √(9701/9801)

Умножим числитель и знаменатель на √9801:

tan(угол между биссектрисой и медианой угла A) = (10/99) * (√9801 / √(9701/9801))

Упростим:

tan(угол между биссектрисой и медианой угла A) = (10/99) * (√9801 / √9701)

Таким образом, тангенс угла между биссектрисой и медианой угла A равен:

tan(угол между биссектрисой и медианой угла A) ≈ (10/99) * (√9801 / √9701) ≈ 0.1018