Question

Отрезок AB пересекает плоскость альфа. Его концы отстоят от плоскости на расстоянии 2 и 4. Найдите угол между этим отрезком и плоскостью альфа, если известно, что проекция отрезка на плоскость c равна 6​

Answer 1

Решение:

Пусть AA₁ ⊥ α и BB₁ ⊥ α, A₁, B₁ ∈ α (см. рисунок); AB ∩ α = O.

Обозначим A₁O = x, тогда OB₁ = 6 - x (по условию)

Заметим, что ∠1 - нужный нам угол.

Так как ∠1 = ∠2 (вертикальные), то и их тангенсы равны.

2 ÷ x = 4 ÷ (6 - x)

2·(6 - x) = 4x

12 - 2x = 4x

6x = 12

x = 2 ⇒ tg ∠1 = tg ∠2 = 2 ÷ 2 = 1 ⇒ угол между отрезком AB и плоскостью α равен 45°

Answer 2

Для нахождения угла между отрезком AB и плоскостью альфа, мы можем использовать проекцию отрезка на плоскость. Поскольку проекция отрезка AB на плоскость равна 6, это означает, что длина проекции отрезка AB на плоскость равна 6.

Также известно, что концы отрезка AB отстоят от плоскости альфа на расстоянии 2 и 4.

Давайте обозначим угол между отрезком AB и плоскостью альфа как θ.

Тогда длина проекции отрезка AB на плоскость можно выразить как:

6 = AB * cos(θ)

где AB - длина отрезка AB.

Также известно, что концы отрезка AB отстоят от плоскости на 2 и 4. Мы можем представить это в виде следующей системы уравнений:

AB = 2 + 4

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сначала найдем длину отрезка AB:

AB = 2 + 4 = 6

Теперь мы можем найти угол θ, используя уравнение проекции:

6 = 6 * cos(θ)

Теперь делим обе стороны на 6:

cos(θ) = 1

Теперь найдем угол θ, взяв обратный косинус от 1:

θ = arccos(1)

θ = 0

Таким образом, угол между отрезком AB и плоскостью альфа равен 0 градусов. Это означает, что отрезок AB параллелен плоскости альфа.