Question

Из внешней точки P к окружности проведены секущая PB и касательная PA. Отрезки PA=4, PB = 2, PC=8. Определите площадь меньшей части круга, отсекаемой секущей, если угол между секущей и касательной = 60 градусов.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Отметим на стороне AP точку D - середину. Тогда в треугольнике ABP BD - медиана. Имеем, что PD=PB=2, откуда DPB равносторонний треугольник и BD=2. BD медиана треугольника ABP и равна половине стороны ⇒ ABP прямоугольный ⇒ ∠ABC=90° ⇒ AC диаметр. Значит ∠CAB=60°, откуда меньшая дуга BC=120°.

Опираясь на эти знания, выполним расчет:

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6}{2r},\;=>\;r=2\sqrt{3}\\\alpha=60\times2=120\\S=\dfrac{\pi r^2}{360}\times\alpha=4\pi$

Задание выполнено!

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться знанием о геометрии окружностей и тригонометрии.

Сначала определим радиус окружности. Мы знаем, что PC = 8, а PA = 4. Так как PA - это радиус, то радиус окружности равен 4.

Теперь, давайте обратим внимание на треугольник PAB, где PA - это радиус (4), PB - это секущая (2), и угол между PA и PB равен 60 градусов. Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту треугольника (отрезок PC), а затем вычислить площадь этого треугольника.

Для вычисления высоты (PC) можно использовать следующее уравнение:

PC = PB * sin(угол PBA)

где угол PBA равен 60 градусов.

PC = 2 * sin(60°) ≈ 2 * 0.866 = 1.732

Теперь, мы можем найти площадь треугольника PAB:

Площадь треугольника PAB = (1/2) * PA * PC = (1/2) * 4 * 1.732 ≈ 3.464 квадратных единиц.

Теперь, чтобы найти площадь сегмента круга, отсекаемого секущей, мы должны вычесть площадь треугольника PAB из площади сектора круга с углом 60 градусов:

Площадь сектора = (60/360) * π * r^2 = (1/6) * π * 4^2 ≈ 8.377 квадратных единиц.

Площадь сегмента = Площадь сектора - Площадь треугольника PAB ≈ 8.377 - 3.464 ≈ 4.913 квадратных единиц.

Итак, площадь меньшей части круга, отсекаемой секущей, составляет примерно 4.913 квадратных единиц.