Question

На прямой последовательно отмечено четыре точки A, B, O, C и D так, что AC=BD. Докажите, что если точка O является серединой AD , то она также является серединой BC.

Answer 1

Ответ:

Отрезок АС= АВ+ВС

Отрезок ВD=CD+ВС

Поскольку по условию АС=BD, то АВ=CD.

Если точка О будет серединой ВС, то справедливо ВО=ОС

Отрезок AD= AB+BO+OC+CD

АО= АВ+ВО

ОD=OC+CD

Мы доказали ранее , что АВ=CD, а ВО=ОС, Значит точка О - середина AD

Answer 2

Дано: ac = bd, точка o является серединой ad.

Доказываем: o является серединой bc.

Для начала, обозначим точки на числовой оси. Пусть точка a имеет координату x_a, точка b - x_b, точка o - x_o, а точка c - x_c.

Учитывая, что o является серединой ad, значит координаты точек a и d будут симметричны относительно точки o. То есть, x_d = x_o + (x_o - x_a).

Также, обозначим координату точки o как среднее арифметическое x_a и x_c, то есть, x_o = (x_a + x_c) / 2.

Для того чтобы доказать, что o также является серединой bc, нужно показать, что координаты точек b и c будут симметричны относительно точки o. То есть, x_c = x_o + (x_o - x_b).

Подставим выражение для x_o и x_d в эту формулу:

x_c = (x_a + x_c) / 2 + ((x_a + x_c) / 2 - x_b).

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:

2x_c = x_a + x_c + 2(x_a + x_c) - 2x_b.

Перенесем все члены с x_c в одну часть уравнения, а с x_b - в другую:

2x_c - x_c - 2x_a - 2x_c = 2x_a - 2x_b.

Упростим выражение:

x_c - x_a = x_a - x_b.

Так как ac = bd, то x_c - x_a = x_b - x_d. Подставим это равенство:

x_b - x_d = x_a - x_b.

Воспользуемся транзитивностью равенства:

x_c - x_a = x_b - x_d = x_a - x_b.

Теперь видно, что x_c = x_b, что доказывает, что точка o является серединой bc.

Таким образом, мы показали, что o является серединой и для отрезка bc, при условии, что o является серединой для отрезка ad и ac = bd.