Question

 У чотирикутній піраміді SABCD проведено переріз площиною, яка проходить через точки P, Q і R — середини ребер AD, CD і SD відповідно. Знайдіть площу утвореного перерізу, якщо AB = BC = CD = AD = 4√2 см, SA = SB = SC = SD = 6 см​

Answer 1

Ответ:

2√5

Объяснение:

В силу условия данная пирамида правильная. Но всё же приведём док-во этого.

Проведём высоту пирамиды SO.

∠AOS=∠BOS=∠COS=∠AOS=90°, SA = SB = SC = SD, SO-общая⇒

⇒ΔAOS=ΔBOS=ΔCOS=ΔAOS⇒AO=BO=CO=DO

AB=BC=CD=AD, AO=BO=CO=DO⇒ABCD-квадрат

По теореме Пифагора

AC²=AB²+BC²=(4√2)²+(4√2)²=64⇒AC=8

P, Q и R — середины ребер AD, CD и SD⇒PQ, QR, PR-средние линии соответственно в ΔACD, ΔCSD, ΔASD

PQ=0,5AC=4

QR=0,5CS=3

PR=0,5AS=3

Найдём площадь ΔPRQ по теореме Герона.

p-полупериметр ΔPRQ

p=0,5(PQ+QR+PR)=0,5(3+3+4)=5

S²(ΔPRQ)=p(p-PQ)(p-PR)(p-QR)=5(5-3)(5-3)(5-4)=20

S(ΔPRQ)=√20=2√5

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться використати геометричні властивості чотирикутної піраміди та середини відрізків.

Оскільки P, Q і R - це середини відповідних ребер AD, CD і SD, ми можемо сказати, що PQRS - це паралелограм, так як протилежні сторони паралельні і рівні за довжиною.

Площа паралелограма обчислюється як добуток довжини одного з його векторів на відстань між паралельними сторонами. В даному випадку можемо обрати вектор PQ і відстань між сторонами AD і BC.

Позначимо довжину вектора PQ через \( x \). Тоді відстань між сторонами AD і BC дорівнює CD, оскільки CD - це середина ребра AD.

Оскільки AB = BC = CD = AD = \( 4\sqrt{2} \) см, а SA = SB = SC = SD = 6 см, то ми маємо, що PD = \( \frac{1}{2} \) AD = \( 2\sqrt{2} \) см.

Тепер можемо використовувати теорему Піфагора для трикутника SPD, щоб знайти довжину відрізка PQ: \[ x = \sqrt{SD^2 - PD^2} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \]

Тепер можемо обчислити площу паралелограма PQRS: \[ S_{PQRS} = x \cdot CD = 2\sqrt{7} \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{14} \, \text{см}^2 \]

Отже, площа утвореного перерізу дорівнює \( 8\sqrt{14} \, \text{см}^2 \).