Question

50 БАЛОВ Биссектриса тупого угла равнобедренной трапеции равная 3см м делит основание на равные отрезки. Найдите периметр трапеции, если один из ее углов равен 120° Ответ приведите в сантиметрах.​

Answer 1

Ответ:

15см

Объяснение:

180-120-5=15

Ответ :15

Answer 2

Давайте обозначим равные отрезки основания трапеции за \(x\). Так как биссектриса тупого угла делит основание на равные отрезки, то мы можем представить основание трапеции как сумму двух отрезков длиной \(x\), то есть \(2x\).

Так как у нас трапеция равнобедренная, то ее боковые стороны (некоторые из них могут быть продолжением основания) равны. Обозначим длину этих сторон за \(a\) и \(b\).

Теперь мы знаем, что биссектриса тупого угла равна 3 см. Так как трапеция равнобедренная, биссектриса тупого угла также является медианой и высотой. Значит, у нас есть два прямоугольных треугольника, в которых биссектриса служит гипотенузой.

Рассмотрим один из таких треугольников. У нас есть гипотенуза \(3\) см и угол \(120^\circ\). Мы можем использовать тригонометрические функции, чтобы найти длины катетов.

\[ \sin(120^\circ) = \frac{a}{3} \]

Отсюда находим длину одного из катетов:

\[ a = 3 \cdot \sin(120^\circ) \]

Теперь мы знаем длину одного из катетов. Так как трапеция равнобедренная, второй катет также имеет длину \(a\).

Теперь мы можем записать уравнение для периметра трапеции:

\[ P = 2x + a + b + a + b \]

Подставим значения:

\[ P = 2x + 3 \cdot \sin(120^\circ) + 2a + 2b \]

Теперь подставим значения для \(a\) и \(x\):

\[ P = 2x + 3 \cdot \sin(120^\circ) + 2(3 \cdot \sin(120^\circ)) + 2b \]

\[ P = 2x + 3 \cdot \sin(120^\circ) + 6 \cdot \sin(120^\circ) + 2b \]

\[ P = 2x + 9 \cdot \sin(120^\circ) + 2b \]

Теперь подставим значение для \(x\), которое равно половине основания трапеции:

\[ P = 2 \cdot \left(\frac{2x}{2}\right) + 9 \cdot \sin(120^\circ) + 2b \]

\[ P = 2x + 9 \cdot \sin(120^\circ) + 2b \]

Теперь подставим значение для \(x\), которое равно половине основания трапеции:

\[ P = 2 \cdot \left(\frac{2x}{2}\right) + 9 \cdot \sin(120^\circ) + 2b \]

\[ P = 2x + 9 \cdot \sin(120^\circ) + 2b \]

Мы знаем, что \(x\) равно половине основания, поэтому:

\[ P = 2 \cdot \left(\frac{2}{2}\right) + 9 \cdot \sin(120^\circ) + 2b \]

\[ P = 2 + 9 \cdot \sin(120^\circ) + 2b \]

Теперь мы знаем, что \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставим это значение:

\[ P = 2 + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2b \]

\[ P = 2 + \frac{9\sqrt{3}}{2} + 2b \]

Теперь осталось найти длину второго катета \(b\). Мы знаем, что сумма длин всех сторон трапеции равна длине основания, поэтому:

\[ 2x + a + b + a + b = 2x \]

Подставим значения:

\[ 2 \cdot \frac{2x}{2} + 3 \cdot \sin(120^\circ) + b + 3 \cdot \sin(120^\circ) + b = 2x \]

\[ 2x + 9 \cdot \sin(120^\circ) + 2b = 2x \]

Отсюда выразим \(b\):

\[ 2b = -9 \cdot \sin(120^\circ) \]

\[ b = -\frac{9}{2} \cdot \sin(120^\circ) \]

Теперь подставим значение \(b\) в уравнение для периметра:

\[ P = 2 + \frac{9\sqrt{3}}{2} + 2 \left(-\frac{9}{2} \cdot \sin(120^\circ)\right) \]

\[ P = 2 + \frac{9\sqrt{3}}{2} - 9 \cdot \sin(120^\circ) \]

\[ P = 2 + \frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{2} \]

\[ P = 2 + 9\sqrt{3} \]

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции равен \(2 + 9\sqrt{3}\) см.