Question

2. В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что ∠CBD=∠CAB. Найдите AD и CD, если BC=3 см, AC=6 см.

Answer 1

Ответ: АD=4,5 см; DC=1,5 см.

Объяснение: В треугольниках АВС и DВС  ∠CBD=∠CAB, ∠АСВ =∠DСВ (общий). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. => ∆ ВСD~∆ ACB. ∠ВDC=∠АВС.

Коэффициент подобия равен отношению сторон, противолежащих равным углам. k=АС:ВС=6:3=2.

Тогда ВC:DС=2, откуда DC=1,5 см. Поэтому АD=6-1,5=4,5 см

Answer 2

Давайте обозначим длины отрезков следующим образом:

• $BC = 3$ см,
• $AC = 6$ см,
• $AD = x$ (длина отрезка AD),
• $CD = y$ (длина отрезка CD).

Также, у нас есть равенство углов: $\angle CBD = \angle CAB$.

Из треугольника $BCD$ мы можем записать отношение длин сторон по теореме синусов:

$\frac{BD}{\sin(\angle CBD)} = \frac{BC}{\sin(\angle BDC)}$

Так как $\angle CBD = \angle CAB$, то мы можем заменить их:

$\frac{BD}{\sin(\angle CAB)} = \frac{BC}{\sin(\angle BDC)}$

Теперь давайте выразим $\sin(\angle CAB)$ и $\sin(\angle BDC)$ через длины сторон треугольника ABC:

$\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AC}$ $\sin(\angle BDC) = \frac{CD}{BC}$

Подставляем это в наше уравнение:

$\frac{BD}{\frac{BC}{AC}} = \frac{BC}{\frac{CD}{BC}}$

Упростим:

$BD = \frac{BC^2}{AC} \cdot CD$

Теперь подставим известные значения:

$BD = \frac{3^2}{6} \cdot CD = \frac{9}{6} \cdot CD = \frac{3}{2} \cdot CD$

Также, из треугольника ABC мы можем записать:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Подставим известные значения:

$6^2 = x^2 + y^2$

Таким образом, у нас есть два уравнения:

$x^2 + y^2 = 36$ $\frac{3}{2} \cdot y = x$

Теперь мы можем решить эти уравнения, чтобы найти значения $x$ и $y$.