Question

Точка M лежить у внутрішній області кута АОВ. Прoмінь ОС - бісектриса цього кута. Доведіть, що кут MOC дорівнює модулю піврізниці кутів АОMі BOM.​

Answer 1

Ответ:

Вот, все ответы тут. Но только я отправила 4 фото так как всё не влезала.

Answer 2

Для доведення цього твердження ми можемо використовувати властивості бісектриси та властивості кутів у трикутнику.

Позначимо кути так:

1. Нехай $\angle AOM = \alpha$ і $\angle BOM = \beta$.
2. Також нехай $\angle MOC = \gamma$.

Оскільки $OC$ є бісектрисою кута $AOM$, то ми можемо скористатися властивістю бісектриси, яка стверджує, що поділ відрізка $AC$ збігається з поділом відрізка $BC$ у відношенні до відповідних сторін кута:

$\frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BC}$

Тепер, ми можемо використовувати властивості бісектриси та властивості кутів у трикутнику для вираження $\gamma$:

$\tan(\gamma) = \tan(\angle MOC) = \frac{OC}{OM}$

Також, ми можемо виразити $\tan(\alpha)$ і $\tan(\beta)$ в термінах $AC$ і $BC$, використовуючи тригонометричні відношення в прямокутних трикутниках $AOC$ і $BOC$:

$\tan(\alpha) = \frac{AC}{AO}$ $\tan(\beta) = \frac{BC}{BO}$

Тепер подивимося на відношення $\tan(\gamma)$ до $\tan(\alpha)$ і $\tan(\beta)$:

$\tan(\gamma) = \frac{OC}{OM}$

Але $OC = AC - BC$, тому:

$\tan(\gamma) = \frac{AC - BC}{OM}$

Тепер підставимо вирази для $\tan(\alpha)$ і $\tan(\beta)$:

$\tan(\gamma) = \frac{\tan(\alpha) \cdot BC - \tan(\beta) \cdot AC}{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}$

Тепер, ми знаємо, що $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \cdot \tan(\beta)}$, тому можемо переписати останнє рівняння:

$\tan(\gamma) = \frac{\tan(\alpha - \beta)}{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}$

І остаточно, можемо виразити кут $\gamma$:

$\gamma = \arctan\left(\frac{\tan(\alpha - \beta)}{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}\right)$

Отже, довели, що кут $\gamma$ (кут MOC) дорівнює модулю піврізниці кутів $\alpha$ і $\beta$.