Question

Знайдіть довжину медіани AM трикутника ABC,якщо A(-2;4);B(2;2);C(-2;-2)

Answer 1

Ответ:

АМ=2√5

Объяснение:

т.М- середина отрезка ВС.

М=(В+С)/2

В(2;2) Хв=2; Ув=2

С(-2;-2) Хс=-2; Ус=-2

Хм=(Хв+Хс)/2=(2-2)/2=0

Ум=(Ув+Ус)/2=(2-2)/2=0

М(0;0)

|АМ|=√((Хм-Ха)+(Ум-Уа))=√(0-(-2))²+(0-4)²)=

=√(2²+(-4)²)=√(4+16)=√20=2√5

Answer 2

Медіана трикутника - це відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежного відрізка. Давайте знайдемо координати середини відрізка AB і визначимо рівняння прямої, яка проходить через точку C та середину відрізка AB.

1. Знайдемо координати середини відрізка AB.

Середина відрізка AB має координати, що є середніми значеннями координат вершин A і B:

\[ x_m = \frac{x_A + x_B}{2} \] \[ y_m = \frac{y_A + y_B}{2} \]

Для точок A(-2;4) і B(2;2):

\[ x_m = \frac{(-2) + 2}{2} = 0 \] \[ y_m = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]

Таким чином, координати середини відрізка AB - M(0,3).

2. Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точку C(-2;-2) та середину відрізка AB.

Спочатку знайдемо коефіцієнт наклона (slope) прямої, який рівний відношенню різниці у координатах y до різниці у координатах x:

\[ \text{slope} = \frac{y_C - y_m}{x_C - x_m} \] \[ \text{slope} = \frac{(-2) - 3}{(-2) - 0} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} \]

Тепер, використовуючи коефіцієнт наклона та координати одного з точок (наприклад, M(0,3)), можна записати рівняння прямої у вигляді:

\[ (y - y_m) = \text{slope} \cdot (x - x_m) \] \[ (y - 3) = \frac{5}{2} \cdot (x - 0) \] \[ 2(y - 3) = 5x \]

Зробимо його в стандартній формі:

\[ 2y - 6 = 5x \] \[ 5x - 2y + 6 = 0 \]

3. Знаходимо точку перетину цієї прямої із відрізком CM, де M - середина відрізка AB.

Відрізок CM - це половина відрізка BC. Таким чином, координати точки M(0,3) і C(-2,-2), а отже, координати точки M(-1,1).

Підставимо ці координати у рівняння прямої:

\[ 5(-1) - 2(1) + 6 = 0 \] \[ -5 - 2 + 6 = 0 \] \[ -1 = 0 \]

Останнє рівняння не виконується, тобто пряма не перетинає відрізок CM. Це означає, що точка M лежить на медіані.

4. Знайдемо довжину медіани AM, яка є відстанню від вершини A до середини відрізка BC.

Відстань між двома точками \((x_1, y_1)\) і \((x_2, y_2)\) можна знайти за допомогою формули відстані між двома точками в просторі:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Для точок A(-2,4) і M(0,3):

\[ d = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 4)^2} \] \[ d = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

Отже, довжина медіани AM трикутника ABC дорівнює \(\sqrt{5}\) (одиничних одиниць).