Question

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90o) известно, что BC = 27, угол ABC = 30o. Через середину М гипотенузы проведена прямая, перпендикулярная гипотенузе, которая пересекает катет ВС в точке Р. Найдите РМ.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике ABC (∠ C = 90°) известно, что BC = 27, ∠ABC = 30°. Через середину М гипотенузы проведена прямая, перпендикулярная гипотенузе, которая пересекает катет ВС в точке Р. Найдите РМ.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и прямых углов.

Обозначим: - \( BC = a = 27 \) (катет прямоугольного треугольника), - \( AC = b \) (гипотенуза), - \( AB = c \) (второй катет).

Известно, что угол \( ABC = 30^\circ \) и угол \( C = 90^\circ \).

Так как угол \( ABC = 30^\circ \), то угол \( CAB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \). Теперь у нас есть все три угла треугольника.

Мы также знаем, что через середину гипотенузы проведена прямая, перпендикулярная гипотенузе. Пусть \( M \) - середина гипотенузы \( AC \), а \( P \) - точка пересечения этой прямой с катетом \( BC \).

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники \( ABC \) и \( AMC \).

Треугольник \( AMC \) - прямоугольный, так как угол \( CAM \) равен 90° (по определению середины гипотенузы).

Также у нас есть угол \( ACM = 60^\circ \) (половина угла \( ABC \)).

Теперь мы можем использовать свойства 30-60-90 треугольника. В таком треугольнике соотношение сторон следующее: \( AC : MC : AM = 2 : 1 : \sqrt{3} \).

Мы знаем, что \( AC = b \), так что \( MC = \frac{b}{2} \) и \( AM = \frac{b\sqrt{3}}{2} \).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник \( BCP \). Он также является прямоугольным с углом \( CBP = 90^\circ \).

Так как \( CP \) - высота треугольника \( BCP \), то мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ BP^2 + PC^2 = BC^2 \]

Подставим значения:

\[ BP^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2 \]

Теперь найдем \( BP \). Из треугольника \( AMC \) мы знаем, что \( BP = AM - MP \). Так как \( M \) - середина \( AC \), то \( MP = \frac{b}{4} \).

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[ \left(\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2 \]

\[ \frac{3b^2}{4} + \frac{b^2}{4} = a^2 \]

\[ b^2 = a^2 \]

\[ b = a \]

Таким образом, мы нашли, что \( AC = BC \).

Теперь мы можем найти \( BP \):

\[ BP = AM - MP = \frac{b\sqrt{3}}{2} - \frac{b}{4} \]

Теперь мы можем рассмотреть треугольник \( BMP \) и использовать теорему Пифагора:

\[ BM^2 + MP^2 = BP^2 \]

Подставим значения:

\[ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{4}\right)^2 = \left(\frac{b\sqrt{3}}{2} - \frac{b}{4}\right)^2 \]

Решив это уравнение, вы найдете значение \( BM \), которое является искомой длиной отрезка \( PM \).