Question

Помогите решить задачу по высшей математике: Заданы точки A(0;0;1),B(2;3;5),C(6;2;3),D(3;7;2). Найдите объем тетраэдра ABCD .

Answer 1

..........................................

Answer 2

Чтобы найти объем тетраэдра по координатам его вершин, можно воспользоваться формулой, основанной на определителе. Объем тетраэдра с вершинами \(A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2), C(x_3, y_3, z_3), D(x_4, y_4, z_4)\) вычисляется по следующей формуле:

\[V = \frac{1}{6} \cdot \left| \begin{array}{cccc} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \\ \end{array} \right|\]

Для заданных точек \(A(0;0;1), B(2;3;5), C(6;2;3), D(3;7;2)\), подставим их координаты в формулу:

\[V = \frac{1}{6} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 2-0 & 3-0 & 5-1 \\ 6-0 & 2-0 & 3-1 \\ 3-0 & 7-0 & 2-1 \\ \end{array} \right|\]

Вычислим определитель:

\[V = \frac{1}{6} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 6 & 2 & 2 \\ 3 & 7 & 1 \\ \end{array} \right|\]

\[V = \frac{1}{6} \cdot (2 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 3 + 4 \cdot 6 \cdot 7 - 4 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 6 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 7)\]

\[V = \frac{1}{6} \cdot (2 + 18 + 168 - 24 - 12 - 42)\]

\[V = \frac{1}{6} \cdot 110 = \frac{110}{6} = \frac{55}{3}\]

Таким образом, объем тетраэдра \(ABCD\) равен \(\frac{55}{3}\) кубических единиц.