Question

Вершины четырехугольника имеют координаты P (−4; −4), R (−5; −2), S (−1; 0), T (0; −2) 1) Дoкaжитe, чтo дaнный чeтыреxyгoльник являeтся пpямoyгoльникoм 2) Нaйдитe кoсинyс yглa мeждy eгo диaгoнaлями 3) Нaйдитe плoщaдь прямoyгoльникa

Answer 1

Ответ:

Надеюсь, что будет верным. Если нет, то скажите, пожалуйста, где ошибся.

Объяснение:

Answer 2

1) Для доказательства того, что данный четырехугольник является прямоугольником, необходимо проверить, что его противоположные стороны параллельны и что его углы прямые.

Стороны PR и ST имеют следующие координаты: PR: (-5 - (-4); -2 - (-4)) = (-1; 2) ST: (0 - (-1); -2 - 0) = (1; -2)

Стороны RS и PT имеют следующие координаты: RS: (-1 - (-5); 0 - (-2)) = (4; 2) PT: (0 - (-4); -2 - (-2)) = (4; -4)

Мы видим, что стороны PR и ST параллельны (их векторы направлены в одном направлении) и стороны RS и PT также параллельны.

Теперь проверим, что углы прямые. Для этого проверим, что произведение векторов PR и RS равно 0: PR * RS = (-1 * 4) + (2 * 2) = 0 + 4 = 4 Так как произведение не равно 0, то углы не прямые, следовательно, данный четырехугольник не является прямоугольником.

2) Для нахождения косинуса угла между диагоналями прямоугольника, воспользуемся формулой косинуса для треугольника.

Диагонали PT и RS имеют следующие координаты: PT: (0 - (-1); -2 - 0) = (1; -2) RS: (-1 - (-4); 0 - 2) = (3; -2)

Найдем длины диагоналей: |PT| = sqrt(1^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5) |RS| = sqrt(3^2 + (-2)^2) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13)

Теперь найдем скалярное произведение векторов PT и RS: PT * RS = (1 * 3) + (-2 * -2) = 3 + 4 = 7

Теперь найдем модули векторов: |PT| = sqrt(5) |RS| = sqrt(13)

Используем формулу косинуса: cos(угол) = PT * RS / (|PT| * |RS|) cos(угол) = 7 / (sqrt(5) * sqrt(13))

3) Для нахождения площади прямоугольника, воспользуемся формулой: Площадь = |PR| * |RS|

Стороны PR и RS имеют следующие координаты: PR: (-5 - (-4); -2 - (-4)) = (-1; 2) RS: (-1 - (-5); 0 - (-2)) = (4; 2)

Найдем длины сторон: |PR| = sqrt((-1)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5) |RS| = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) = 2 * sqrt(5)

Теперь найдем площадь: Площадь = |PR| * |RS| = sqrt(5) * 2 * sqrt(5) = 2 * 5 = 10