Question

Найти координаты вектора a , который ортогонален векторам b =(−4;−7;5) и c =(−8;−8;7) и имеет длину √89.

Answer 1

Вектор а пропорционален вектору, полученному векторным умножением векторов b и c.

Находим d = b x c по способу Саррюса:

 i        j        k|       i        j

-4      -7       5|     -4      -7

-8      -8       7|     -8      -8 = -49i - 40j + 32k + 28j + 40i - 56k = -9i - 12j - 24k.

Получили вектор d, кратный вектору а:

d = (-9; -12; -24). его модуль равен:

|d| = √((-9)² + (-12)² + (-24)²) = √(81 + 144 + 576) = √801.

Подкоренное выражение кратно заданному 801/89 = 9.

То есть модуль а в 3 раза меньше.

Но ортогональным вектор а может иметь как в одном направлении, так и в противоположном.

Поэтому имеются 2 решения:

a = (-3; -4; -8),

     (3; 4; 8).

Answer 2

Для того чтобы найти вектор \( \mathbf{a} \), который ортогонален векторам \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) и имеет длину \( \sqrt{89} \), мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения векторов, чтобы определить ортогональность.

Сначала нам нужно найти векторное произведение между векторами \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), чтобы получить вектор, перпендикулярный им обоим.

Векторное произведение двух векторов \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \) можно найти следующим образом:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -8 \\ -8 \\ 7 \end{pmatrix} \]

Для вычисления векторного произведения используется следующая формула:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix} \]

Где \( b_1, b_2, b_3 \) - компоненты вектора \( \mathbf{b} \), а \( c_1, c_2, c_3 \) - компоненты вектора \( \mathbf{c} \).

Вычислим:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} (-7 \cdot 7) - (5 \cdot (-8)) \\ (5 \cdot (-8)) - ((-4) \cdot 7) \\ ((-4) \cdot (-8)) - ((-7) \cdot (-8)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -49 - (-40) \\ -40 - (-28) \\ 32 - 56 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -12 \\ -24 \end{pmatrix} \]

Теперь у нас есть вектор, перпендикулярный \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \). Однако нам также нужно, чтобы этот вектор имел длину \( \sqrt{89} \).

Длина вектора \( \mathbf{a} \) вычисляется по формуле:

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]

где \( a_1, a_2, a_3 \) - компоненты вектора \( \mathbf{a} \).

Мы знаем, что длина вектора \( \mathbf{a} \) равна \( \sqrt{89} \), поэтому нужно найти коэффициент, на который мы можем умножить вектор \( \begin{pmatrix} -9 \\ -12 \\ -24 \end{pmatrix} \), чтобы получить вектор с такой длиной.

Длина вектора \( \begin{pmatrix} -9 \\ -12 \\ -24 \end{pmatrix} \) вычисляется как:

\[ \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2 + (-24)^2} = \sqrt{81 + 144 + 576} = \sqrt{801} \]

Чтобы получить длину \( \sqrt{89} \), нам нужно умножить вектор \( \begin{pmatrix} -9 \\ -12 \\ -24 \end{pmatrix} \) на \( \sqrt{\frac{89}{801}} \):

\[ \mathbf{a} = \sqrt{\frac{89}{801}} \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ -12 \\ -24 \end{pmatrix} \]

Теперь мы найдем \( \mathbf{a} \):

\[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -9 \\ -12 \\ -24 \end{pmatrix} \cdot \sqrt{\frac{89}{801}} = \begin{pmatrix} -3\sqrt{\frac{89}{89}} \\ -4\sqrt{\frac{89}{89}} \\ -8\sqrt{\frac{89}{89}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -8 \end{pmatrix} \]

Итак, вектор \( \mathbf{a} \), который ортогонален векторам \( \mathbf{b} = (-4; -7; 5) \) и \( \mathbf{c} = (-8; -8; 7) \) и имеет длину \( \sqrt{89} \), равен \( \mathbf{a} = (-3; -4; -8) \).