Question

На боковых сторонах трапеции отмечены точки M, N, K, P так, что отрезки MN=65–√ и KP=9 параллельны основаниям, причём MN делит трапецию на две равновеликих (равных по площади), а KP проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину меньшего основания трапеции.

Answer 1

Ответ:

6.75

Объяснение:

Продлим боковые стороны

Точка пересечения их L

Там образуется угол равный 30 градусам

После чего по теореме косинусов получаем, что меньшая сторона равна KP * cos(30) ^2 = 9 * 3 /4 = 27/4 = 6.75

Answer 2

Давайте обозначим боковые стороны трапеции как \(a\) и \(b\), где \(a\) - большее основание, а \(b\) - меньшее основание. Пусть \(h\) - высота трапеции. Также обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как \(O\).

Из условия задачи у нас есть следующие данные:

1. \(MN = 65 - \sqrt{x}\) 2. \(KP = 9\) 3. \(MN \parallel KP\) 4. Точка \(O\) - точка пересечения диагоналей.

Так как \(MN\) делит трапецию на две равновеликие части, то площади треугольников \(MOK\) и \(NOP\) равны. Рассмотрим треугольники:

1. \(MOK\): \[S_{MOK} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OK\] 2. \(NOP\): \[S_{NOP} = \frac{1}{2} \cdot NO \cdot OP\]

Так как \(MN\) параллельна основаниям, треугольники \(MOK\) и \(NOP\) подобны (по признаку угловой подобности). Следовательно, отношение длин сторон в этих треугольниках равно отношению длин сторон трапеции.

\[ \frac{MO}{NO} = \frac{OK}{OP} = \frac{a - b}{b} \]

Из условия задачи мы знаем, что \(KP = 9\), и точка \(P\) лежит на диагонали \(MK\). Так как \(KP\) является высотой треугольника \(MOK\), можем записать:

\[ \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 9 \]

Или

\[ MO \cdot OK = b \cdot 9 \]

Теперь можем записать отношение:

\[ \frac{a - b}{b} = \frac{MO}{NO} = \frac{MO \cdot OK}{NO \cdot OK} = \frac{b \cdot 9}{NO \cdot OK} \]

Отсюда получаем:

\[ a - b = 9 \]

Также из условия задачи мы знаем, что \(MN = 65 - \sqrt{x}\). Так как \(MN\) также является высотой трапеции, можем записать:

\[ \frac{1}{2} \cdot MN \cdot (a + b) = S_{MOK} = S_{NOP} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{1}{2} \cdot (65 - \sqrt{x}) \cdot (a + b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 9 \]

Упростим уравнение:

\[ (65 - \sqrt{x}) \cdot (a + b) = 9b \]

Разрешим это уравнение относительно \(a\):

\[ 65a + 65b - \sqrt{x}a - \sqrt{xb} = 9b \]

\[ 65a + 65b = \sqrt{x}a + \sqrt{xb} + 9b \]

\[ 65a - \sqrt{x}a = \sqrt{xb} + 9b - 65b \]

\[ a(65 - \sqrt{x}) = b(\sqrt{x} + 9 - 65) \]

Теперь подставим значение \(a - b = 9\):

\[ 9(65 - \sqrt{x}) = b(\sqrt{x} - 56) \]

Разрешим это уравнение относительно \(b\):

\[ 585 - 9\sqrt{x} = b\sqrt{x} - 56b \]

\[ b\sqrt{x} + 9\sqrt{x} = 56b + 585 \]

\[ \sqrt{x}(b + 9) = 56b + 585 \]

\[ b + 9 = \frac{56b + 585}{\sqrt{x}} \]

\[ \sqrt{x}(b + 9) = 56b + 585 \]

\[ x(b + 9)^2 = (56b + 585)^2 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ a - b = 9 \] \[ x(b + 9)^2 = (56b + 585)^2 \]

Решив эти уравнения, мы сможем найти значения \(a\), \(b\) и, следовательно, длину меньшего основания трапеции. Однако, решение этих уравнений может потребовать более сложных математических шагов.