Question

Чи можна вписати коло у чотирикутник сторони якого у порядку слідування відносяться як 5:2:1:4​

Answer 1

Відповідь:

Так

Пояснення:

коло можна вписати у чотирикутник, якщо сума протилежних сторін однакова

a=5x, b=2x, c=x, d=4x

a+c=b+d=6x

Таким чином суми протилежних сторін рівні -> можна вписати коло у цей чотирикутник

Answer 2

Так, можна вписати коло у чотирикутник з вказаними відношеннями довжин сторін. Візьмемо чотирикутник ABCD, де AB : BC : CD : DA = 5 : 2 : 1 : 4.

Щоб вписати коло, важливо, щоб середини протилежних сторін чотирикутника були колінеарними і співпадали з центром кола. Таким чином, ми можемо побудувати діагоналі чотирикутника ABCD і взяти їхні перетини, позначимо його O. Цей O буде центром вписаного кола.

Тепер розглянемо трикутники AOB, BOC, COD і DOA. Оскільки O - центр вписаного кола, то OA, OB, OC і OD є радіусами цього кола. Також, оскільки середини сторін чотирикутника співпадають з центром кола, то можемо використовувати відношення сторін для обчислення радіусів.

Нехай x - спільна довжина сторін AB і CD (за відношенням 1:1), y - спільна довжина сторін BC і AD (за відношенням 2:4), тоді 5x буде довжиною сторони AB, 2y - BC, x - CD і 4y - DA.

За властивостями вписаного кола у трикутник, радіус R можна обчислити за формулою:

\[ R = \frac{Площа \; трикутника}{Півпериметр} \]

Площа трикутника може бути обчислена за формулою Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

де \( p \) - півпериметр, \( a, b, c \) - довжини сторін трикутника.

Ось обчислення для одного з трикутників (наприклад, AOB):

\[ p_{AOB} = \frac{(5x + 2y + R) + (5x + 4y + R) + (2y + x + R)}{2} \]

\[ S_{AOB} = \sqrt{p_{AOB} \cdot (p_{AOB} - 5x) \cdot (p_{AOB} - 2y) \cdot (p_{AOB} - R)} \]

Після обчислення площі всіх чотирьох трикутників і їхнього півпериметру, ми можемо знайти радіус R вписаного кола і вписати його у чотирикутник ABCD.