Question

в треугольнике ABC на продосжении стороны BC за точку C отложен отрезок CD, равный CA, и точки A и D соединены отрезком, CE - биссектриса треугольника ACB, а CF - медиана треугольника ACD. Докажите, что CF перпендикулярен CE​

Answer 1

Ответ:

---

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что \(CF\) перпендикулярен \(CE\), давайте рассмотрим треугольники \(ACB\) и \(ACD\).

Из условия задачи известно, что:

1. \(CD = CA\) 2. \(CE\) - биссектриса треугольника \(ACB\) 3. \(CF\) - медиана треугольника \(ACD\)

Нам нужно доказать, что \(CF \perp CE\).

Воспользуемся теоремой о биссектрисе в треугольнике \(ACB\). Согласно этой теореме, биссектриса делит противолежащий ей угол на два равных угла. Таким образом, у нас есть:

\[\angle BCF = \angle ACD\]

Теперь рассмотрим треугольник \(ACD\). В нем медиана \(CF\) делит противолежащую ей сторону \(AD\) пополам. Таким образом, у нас есть:

\[CD = DA\]

С учетом того, что \(CD = CA\), мы получаем, что:

\[CA = DA\]

Теперь вспомним, что в равнобедренном треугольнике биссектриса также является медианой, а значит, \(CE\) также делит сторону \(AB\) пополам:

\[CB = BA\]

Таким образом, у нас есть:

\[CA = DA\] \[CB = BA\]

Следовательно, треугольник \(CAB\) - равнобедренный.

Теперь вернемся к углу \(\angle BCF\) и углу \(\angle ACD\), которые равны из-за теоремы о биссектрисе:

\[\angle BCF = \angle ACD\]

Также мы знаем, что \(CB = BA\), и угол при основании равнобедренного треугольника равен:

\[\angle BCA = \angle BAC\]

Таким образом, у нас есть два равных угла:

\[\angle BCF = \angle ACD\] \[\angle BCA = \angle BAC\]

Из этого следует, что треугольник \(BCF\) подобен треугольнику \(ACD\) по углам (по двум углам).

Теперь вспомним свойство медианы в треугольнике: медиана делит треугольник на два подобных треугольника. Таким образом, треугольники \(BCF\) и \(ACD\) подобны, и соответствующие углы у них равны.

Теперь рассмотрим углы треугольника \(BCF\):

\[\angle BCF = \angle ACD\] \[\angle BCA = \angle BAC\]

Так как углы против подобных сторон равны, а углы при этих сторонах равны из-за равнобедренности треугольника \(CAB\), то у нас есть две пары равных углов.

Следовательно, треугольник \(BCF\) равен треугольнику \(ACD\) по углам.

Теперь рассмотрим противолежащие этим углам стороны. У нас есть:

\[CB = BA\] \[CF = CF\]

Из этого следует, что треугольники \(BCF\) и \(ACD\) равны по стороне-угол-стороне.

Таким образом, треугольник \(BCF\) равен треугольнику \(ACD\) по всем сторонам и углам.

Теперь, согласно свойствам равных треугольников, противолежащие углы при равных сторонах также равны.

Таким образом, \(\angle CFB = \angle CAD\).

Однако углы \(\angle CFB\) и \(\angle CAD\) - это углы между стороной и биссектрисой треугольника \(ACB\). Таким образом, эти углы равны, и мы можем заключить, что:

\[CF \perp CE\]

Таким образом, доказано, что медиана \(CF\) перпендикулярна биссектрисе \(CE\) в треугольнике \(ACB\).