Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка  K- середина ребра AA1, точка L - середина ребра A1B1, точка M - середина ребра A1D1. Найдите угол LMK. Ответ дайте в градусах. Прошу, помогите срочно​

Answer 1

Так как ABCDA1B1C1D1 - куб, а точки K, L, M – середины соседних ребер (см. рисунок), то длины KL, KM, LM равны между собой как гипотенузы одинаковых прямоугольных треугольников. Раз в треугольнике KLM все стороны равны, то все углы в этом треугольнике по 60 градусов, следовательно, и угол MLK также 60 градусов.
Ответ:60

Answer 2

Для нахождения угла LMK мы можем использовать теорему косинусов.

Пусть точка A имеет координаты (x, y, z), тогда точки A1, B1, C1, D1 будут иметь координаты (x + 1, y, z), (x, y + 1, z), (x, y, z + 1), (x + 1, y + 1, z + 1) соответственно.

Так как точка K - середина ребра AA1, координаты точки K можно найти как среднее арифметическое координат вершин A и A1:

K = ((x + x + 1) / 2, (y + y) / 2, (z + z) / 2) = (2x + 1)/2, y/ 2, z/ 2 = (x + 0.5, y/2, z/2)

Аналогично, находим координаты точек L и M:

L = (x, y + 0.5, z/2) M = (x + 0.5, y/2, z + 0.5)

Теперь, чтобы найти угол LMK, мы можем использовать формулу:

cos(LMK) = (LM^2 + MK^2 - KL^2) / (2 * LM * MK)

Рассчитаем значения LM, MK и KL:

LM = sqrt((x - x)^2 + (y + 0.5 - y/2)^2 + (z/2 - z)^2) = sqrt(0 + (0.5)^2 + (z/2 - z)^2) = sqrt(1/4 + (z/2)^2 - z + z^2) = sqrt(1/4 + (z^2 - z + 1/4) - z + z^2) = sqrt(2z^2 - 2z + 1/2)

MK = sqrt((x + 0.5 - (2x + 1)/2)^2 + (y/2 - y/2)^2 + (z + 0.5 - z/2)^2) = sqrt((1/2x)^2 + 0 + 1/4) = sqrt(1/4x^2 + 1/4) = 1/2 * sqrt(x^2 + 1)

KL = sqrt((x + 0.5 - x)^2 + (y/2 - (y + 0.5))^2 + (z + 0.5 - z/2)^2) = sqrt(0 + (-y/2 - y/2)^2 + (0.5 - z/2)^2) = sqrt(0 + (-y)^2 + (0.5 - z/2)^2) = sqrt(y^2 + (1/4 - z/2)^2)

Подставляем значения в формулу:

cos(LMK) = (2z^2 - 2z + 1/2 + 1/4x^2 - 1/4 - y^2 - (1/4 - z/2)^2) / (2 * sqrt(2z^2 - 2z + 1/2) * 1/2 * sqrt(x^2 + 1) * sqrt(y^2 + (1/4 - z/2)^2))

Simplifying the expression, we get:

cos(LMK) = (2z^2 - 2z + 1/2 + 1/4x^2 - 1/4 - y^2 - (1/4 - z/2)^2) / sqrt((2z^2 - 2z + 1/2) * (x^2 + 1) * (y^2 + (1/4 - z/2)^2))

Теперь мы можем рассчитать значение угла LMK, используя арккосинус:

LMK = arccos((2z^2 - 2z + 1/2 + 1/4x^2 - 1/4 - y^2 - (1/4 - z/2)^2) / sqrt((2z^2 - 2z + 1/2) * (x^2 + 1) * (y^2 + (1/4 - z/2)^2)))

Так как конкретные значения x, y и z не были указаны, мы не можем найти точные численные значения угла LMK. Однако, эта формула позволяет нам рассчитать значение угла, если мы знаем значения x, y и z.