Question

Задан вектор a(2;-4) и точка A (−6; 2). Запишите уравнения прямой, проходящей через точку A, если: б) вектор a является вектором нормали

Answer 1

Ответ:

$\vec{a}=(2;-4)\ \ ,\ \ A(-6;2)$

б)  если  вектор нормали  $\vec{n}=\vec{a}=(2;-4)$  , то уравнение прямой имеет

вид:      $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\ ,\ \ \vec{n}=(A;B)$  .

 $2(x+6)-4(y-2)=0\ \ \Rightarrow \ \ \ \ 2x-4y+20=0\ \ ,\ \ \boxed{\ x-2y+10=0\ }$

Answer 2

Для того чтобы записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали, мы можем использовать уравнение прямой в параметрической форме и уравнение нормали.

Уравнение прямой в параметрической форме:

\[ \vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{a}, \]

где: - \(\vec{r}\) - радиус-вектор точки на прямой, - \(\vec{r_0}\) - радиус-вектор заданной точки на прямой, - \(\vec{a}\) - направляющий вектор прямой, - \(t\) - параметр.

Уравнение нормали к прямой:

\[ \vec{a} \cdot \vec{n} = 0, \]

где: - \(\vec{a}\) - вектор нормали, - \(\vec{n}\) - вектор направления прямой.

В данном случае вектор \(\vec{a}\) уже является вектором нормали, поэтому уравнение нормали уже удовлетворено.

Теперь подставим заданные значения:

Для точки \(A(-6, 2)\) радиус-вектор \(\vec{r_0}\) будет равен \((-6, 2)\).

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид:

\[ \vec{r} = (-6, 2) + t(2, -4). \]

Развернем это уравнение:

\[ x = -6 + 2t, \] \[ y = 2 - 4t. \]

Это и есть параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку \(A(-6, 2)\) с направляющим вектором \(\vec{a}(2, -4)\), который также является вектором нормали.