Question

На стороне АВ треугольника АВС , площадь которого равна 20см2, отмечена точка К так, что АК:КВ как 1:3. Найдие площади треугольников АСК и СКВ

Answer 1

Т.к по правилу: Медиана треугольника делит его на два равновеликих, то делаем вывод , что площади треугольников АСК и СКВ равны. А т.к они находятся большом треугольнике АВС площадь которого равна 20см2 то прощать этих треугольников равна 10 см2

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся тем, что отношение площадей двух треугольников, образованных боковыми сторонами и высотой, равно квадрату отношения соответствующих сторон.

Обозначим стороны треугольника ABC как AB, AC и BC, а высоту, проведенную из вершины A, как h. Также пусть AK = x и KB = 3x, согласно условию задачи.

1. Находим отношение площадей треугольников ASK и BSK: \[\frac{S_{ASK}}{S_{BSK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot BK \cdot h} = \frac{AK}{BK} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}.\]

2. Находим отношение площадей треугольников ACB и ASK: \[\frac{S_{ACB}}{S_{ASK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot h} = \frac{AB}{AK}.\]

3. Находим отношение площадей треугольников ACB и BSK: \[\frac{S_{ACB}}{S_{BSK}} = \frac{S_{ACB}}{S_{ASK}} \cdot \frac{S_{ASK}}{S_{BSK}} = \frac{AB}{AK} \cdot \frac{1}{3}.\]

Теперь у нас есть отношения площадей треугольников ACB, ASK и BSK. Мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 20 см², поэтому:

\[S_{ACB} = S_{ASK} + S_{BSK}.\]

Подставляем найденные отношения:

\[\frac{AB}{AK} \cdot \frac{1}{3} \cdot (S_{ASK} + S_{BSK}) = 20.\]

Теперь нужно выразить площади треугольников ASK и BSK через x и решить уравнение. Распишем:

\[\frac{AB}{AK} \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AK \cdot h + \frac{1}{2} \cdot BK \cdot h) = 20.\]

Упрощаем:

\[\frac{AB}{AK} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot h \cdot (AK + BK) = 20.\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{AB}{x} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot h \cdot (x + 3x) = 20.\]

\[AB \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot h \cdot 4x = 20.\]

Упрощаем и выражаем h:

\[AB \cdot h \cdot x = 30.\]

Теперь у нас есть выражение для площади треугольника ASK:

\[S_{ASK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{30}{AB} = \frac{15x}{AB}.\]

Также у нас есть выражение для площади треугольника BSK:

\[S_{BSK} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot \frac{30}{AB} = \frac{45x}{AB}.\]

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

\[\frac{AB}{x} \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{15x}{AB} + \frac{45x}{AB}) = 20.\]

Упрощаем:

\[\frac{1}{3} \cdot (15x + 45x) = 20.\]

\[20x = 20.\]

\[x = 1.\]

Теперь, когда мы нашли x, можем вычислить площади треугольников ASK и BSK:

\[S_{ASK} = \frac{15x}{AB} = \frac{15}{AB},\]

\[S_{BSK} = \frac{45x}{AB} = \frac{45}{AB}.\]

Таким образом, мы нашли площади треугольников ASK и BSK, и ответом будет:

\[S_{ASK} = \frac{15}{AB},\]

\[S_{BSK} = \frac{45}{AB}.\]