Question

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . На ребре АА1 отмечена точка F таким образом, что А1F : FA=3:4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки F, B1, C1, если ВС 4, АВ 2√7, АА1 14

Answer 1

Ответ:

32 ед².

Объяснение:

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед.

F∈AA₁, A₁F:FA = 3:4

BC = 4; AB = 2√7; AA₁=14.

Через точки F, B₁,C₁ проходит сечение.

Найти: площадь сечения.

Решение:

• Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны.

⇒ сечение FB₁C₁C - прямоугольник.

• Площадь прямоугольника равна произведению смежный сторон.

⇒ $\displaystyle S_{FB_1C_1M}=B_1C_1*FB_1$

1. Пусть А₁F = 3x, тогда AF = 4x, а АА₁ = 7х = 14

7х = 14 ⇒ х = 2

Тогда A₁F = 3x = 6

2. Рассмотрим ΔFA₁B₁ - прямоугольный.

A₁F = 6; A₁B₁ = AB = 2√7;

По теореме Пифагора найдем FB₁:

$\displaystyle FB_1=\sqrt{A_1F^2+A_1B_1^2} =\sqrt{36+28}=8$

Теперь найдем площадь сечения:

$\displaystyle S_{FB_1C_1M}=4*8 = 32$ (ед.²)

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о геометрии параллелепипедов и пропорциональности отрезков.

Дано:

- Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 - На ребре АА1 отмечена точка F таким образом, что А1F : FA = 3 : 4 - Длина ребра ВС равна 4 - Длина ребра АВ равна 2√7 - Длина ребра АА1 равна 14

Решение:

1. Найдем длину отрезка А1F: По условию, А1F : FA = 3 : 4. Так как их сумма равна длине ребра АА1, то можем записать: А1F + FA = 14. Подставим соотношение А1F : FA = 3 : 4: 3x + 4x = 14, 7x = 14, x = 2. Таким образом, А1F = 3x = 3 * 2 = 6, а FA = 4x = 4 * 2 = 8.

2. Найдем длину ребра АС: Рассмотрим треугольник ABC. Известны длины его сторон: АВ = 2√7, ВС = 4. Используем теорему Пифагора: АС^2 = АВ^2 + ВС^2, АС^2 = (2√7)^2 + 4^2, АС^2 = 4 * 7 + 16, АС^2 = 28 + 16, АС^2 = 44, АС = √44 = 2√11.

3. Найдем площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки F, B1, C1: Поскольку плоскость проходит через точки F, B1, C1, то она параллельна плоскостям ABCD и A1B1C1D1 параллелепипеда. Поэтому площадь сечения равна площади прямоугольника B1C1F1F, где F1 - точка сечения плоскости с ребром A1A. Для начала найдем длину ребра A1A: Поскольку F лежит на ребре АА1, то можем записать: А1F + FA = 14, А1F + 6 + 8 = 14, А1F = 14 - 14, А1F = 0. Таким образом, длина ребра A1A равна 14 - 0 = 14.

Теперь можем найти площадь прямоугольника B1C1F1F: По свойствам параллелограмма, площадь прямоугольника равна произведению длин двух сторон, принадлежащих к данной плоскости. B1C1 = ВС = 4, B1F1 = B1A1 - A1F = 14 - 6 = 8. Таким образом, площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки F, B1, C1, равна S = B1C1 * B1F1 = 4 * 8 = 32.

Ответ:

Площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки F, B1, C1, равна 32.