Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ! Один из углов ромба равен 135, а радиус вписанной окружности этого ромба равен 4√2 . Найдите сторону этого ромба. ​

Answer 1

Ответ:

Сторона ромба равна 16 ед.

Объяснение:

Один из углов ромба равен 135 °, а радиус вписанной окружности ромба равен 4√2 . Найти сторону ромба.

1 способ

Радиус,  вписанной в ромб, окружности определяется по формуле:

$r=\dfrac{2S}{P} ,$

S - площадь ромба

P- периметр ромба.

Пусть сторона ромба будет а ед. Тогда Р =4а , а площадь ромба будет равна

$S =a^{2} \cdot sin 135^{0} =a^{2} \cdot sin (180^{0} =45^{0} )=a^{2} \cdot sin 45^{0} =a^{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} = \dfrac{a^{2} \sqrt{2} }{2}$

Тогда радиус вписанной окружности

$r=\dfrac{2\cdot \dfrac{a^{2} \sqrt{2} }{2} }{4a} =\dfrac{a^{2}\sqrt{2} }{4a} =\dfrac{a\sqrt{2} }{4}$

Тогда

$\dfrac{a\sqrt{2} }{4} =4\sqrt{2} ;\\\\a\sqrt{2} =16\sqrt{2} |:\sqrt{2} ;\\a=16$

И сторона ромба равна 16 ед.

2 способ. ( рассмотрим рисунок)

Дан АВСD - ромб, ∠А =135°. Тогда ∠В =180°-135°=45°.

Радиус вписанной окружности  ОК = 4√2 ед.

Тогда высота ромба АМ =2ОК =4√2 ед.

Рассмотрим Δ АВМ - прямоугольный. Если ∠АВМ =45°,

то ∠ВАМ =45° ( сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°) . В треугольнике два угла равны,

значит Δ АВМ  -равнобедренный.

АМ =ВМ = 8√2 ед.

Найдем гипотенузу АВ по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AB^{2} =AM^{2} +BM^{2} ;\\AB= \sqrt{AM^{2} +BM^{2}} ;\\AB= \sqrt{(8\sqrt{2})^{2} +(8\sqrt{2})^{2} } =\sqrt{62\cdot2+64\cdot2 } =\sqrt{64\cdot(2+2)} =\sqrt{64\cdot4} =\\\\=8\cdot 2 =16$

Значит, сторона ромба равна 16 ед.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства ромба и вписанной окружности.

Свойства ромба: 1. Все стороны ромба равны между собой. 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг на друга пополам.

Свойства вписанной окружности: 1. Центр вписанной окружности находится в точке пересечения диагоналей ромба. 2. Радиус вписанной окружности равен половине диагонали ромба.

Зная, что один из углов ромба равен 135 градусам, мы можем найти угол, образованный диагоналями ромба. Так как диагонали ромба делят друг на друга пополам, то этот угол будет равен 2 * 135 = 270 градусов.

Теперь мы знаем, что угол, образованный диагоналями ромба, равен 270 градусам. Из свойства ромба, мы также знаем, что угол, образованный диагоналями ромба, равен сумме двух углов треугольника, образованного радиусом вписанной окружности и двумя сторонами ромба.

Таким образом, получаем уравнение: 270 = угол1 + угол2 + угол3

Угол1 и угол2 - углы треугольника, образованного радиусом вписанной окружности и двумя сторонами ромба. Угол3 - угол, образованный двумя сторонами ромба.

Из свойств окружности, угол1 и угол2 будут равны друг другу и равны половине угла, образованного диагоналями ромба. Таким образом, угол1 = угол2 = 270 / 2 = 135 градусов.

Теперь мы можем решить уравнение: 270 = 135 + 135 + угол3 угол3 = 270 - 135 - 135 = 0 градусов

Угол3 равен 0 градусов, что означает, что две стороны ромба параллельны друг другу и образуют прямой угол.

Теперь мы можем найти сторону ромба, используя теорему Пифагора. Пусть сторона ромба равна a.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае, гипотенуза равна диагонали ромба, а катеты равны сторонам ромба.

Имеем: a^2 + a^2 = (4√2)^2

2a^2 = 32 a^2 = 16 a = √16 = 4

Таким образом, сторона ромба равна 4.