Question

В прямоугольнике ABCD AB = 3, BC = 5. на стороне AD отмечена точка E такая, что треугольник CDE - равнобедренный. Найдите площадь треугольника ABE.

Answer 1

Ответ:

3 ед²

Объяснение:

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому CD=AB=3 ед, AD=BC=5 ед.

△CDE - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны: ED=CD=3 ед.

AE=AD-ED=5-3=2 ед.

△ABE -прямоугольный (∠С=90°).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AE = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ ед²

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию подробно. У нас есть прямоугольник ABCD, где AB = 3 и BC = 5. Пусть точка E находится на стороне AD так, что треугольник CDE равнобедренный.

Так как треугольник CDE равнобедренный, то CD = CE. Мы также знаем, что BC = 5.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABE. Мы видим, что AB = 3 (это одна из сторон прямоугольника) и BE = BC + CE = 5 + CD.

Таким образом, стороны треугольника ABE:

AB = 3, BE = 5 + CD.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника по сторонам:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}, \]

где \( p \) - полупериметр треугольника, \( a, b, c \) - длины сторон.

В нашем случае:

\[ p = \frac{AB + BE + EA}{2}. \]

Подставим значения:

\[ p = \frac{3 + (5 + CD) + EA}{2}. \]

Так как треугольник CDE равнобедренный, то CD = CE, поэтому мы можем заменить \( CD \) на \( CE \):

\[ p = \frac{3 + (5 + CE) + EA}{2}. \]

Также мы знаем, что \( CE = CD \) и \( CD = BC = 5 \):

\[ p = \frac{3 + (5 + 5) + EA}{2}. \]

\[ p = \frac{13 + EA}{2}. \]

Теперь мы можем выразить сторону \( EA \) через \( p \):

\[ EA = 2p - 13. \]

Теперь, используем формулу площади треугольника:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BE) \cdot (p - EA)}. \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{\left(\frac{13 + EA}{2}\right) \cdot \left(\frac{13 + EA}{2} - 3\right) \cdot \left(\frac{13 + EA}{2} - (5 + CD)\right) \cdot \left(\frac{13 + EA}{2} - EA\right)}. \]

Подставим \( EA = 2p - 13 \) и упростим:

\[ S = \sqrt{\left(\frac{13 + 2p - 13}{2}\right) \cdot \left(\frac{13 + 2p - 13}{2} - 3\right) \cdot \left(\frac{13 + 2p - 13}{2} - (5 + CD)\right) \cdot \left(\frac{13 + 2p - 13}{2} - (2p - 13)\right)}. \]

Теперь вычислим этот корень, и это будет площадь треугольника ABE.