Question

В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 5. Запишите решение и ответ.

Answer 1

Ответ:

P=30

-------------------------------------------

Answer 2

Дано:

В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(A\), равного \(60^\circ\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\). Отрезки \(AM\) и \(DM\) перпендикулярны. Также известно, что \(AB = 5\).

Заметим, что в параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, угол \(D\) также равен \(60^\circ\).

Теперь у нас есть равнобедренный треугольник \(ADM\), так как углы \(ADM\) и \(AMC\) равны \(90^\circ\) (по условию) и угол \(D\) равен углу \(A\). Таким образом, треугольник \(ADM\) - равнобедренный, и мы знаем, что \(AM = DM\).

Также, у нас есть прямоугольный треугольник \(AMC\) с углом \(60^\circ\). В этом треугольнике мы можем использовать тригонометрический тангенс:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{AM}{AC} \]

Угол \(60^\circ\) выбран потому, что это угол в прямоугольном треугольнике \(AMC\). Так как углы \(A\) и \(D\) в параллелограмме равны \(60^\circ\), то и углы \(AMC\) и \(D\) тоже равны.

Таким образом,

\[ \tan(60^\circ) = \frac{AM}{AC} \]

\[ \sqrt{3} = \frac{AM}{AC} \]

\[ AM = AC \cdot \sqrt{3} \]

Так как \(AM = DM\), то \(DM = AC \cdot \sqrt{3}\).

Теперь можем выразить сторону \(DC\):

\[ DC = 2 \cdot DM = 2 \cdot AC \cdot \sqrt{3} \]

Так как \(AB = 5\), то \(BC = AD = 5\) (параллелограмм).

Теперь можем найти периметр параллелограмма:

\[ P = AB + BC + CD + DA \]

\[ P = 5 + 5 + 2 \cdot AC \cdot \sqrt{3} + 5 \]

\[ P = 15 + 2 \cdot AC \cdot \sqrt{3} \]

Теперь нам нужно найти значение \(AC\). Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором известна сторона \(AB = 5\), угол \(A = 60^\circ\) и угол \(C = 120^\circ\) (так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\)). Мы можем использовать закон синусов:

\[ \frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(C)} \]

\[ \frac{BC}{\sin(60^\circ)} = \frac{5}{\sin(120^\circ)} \]

\[ \frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ BC = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3} \]

Теперь мы можем подставить значение \(BC\) в выражение для периметра:

\[ P = 15 + 2 \cdot AC \cdot \sqrt{3} \]

\[ P = 15 + 2 \cdot \left(\frac{5 \cdot \sqrt{3}}{3}\right) \cdot \sqrt{3} \]

\[ P = 15 + \frac{10 \cdot \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} \]

\[ P = 15 + \frac{10 \cdot 3}{3} \]

\[ P = 15 + 10 \]

\[ P = 25 \]

Итак, периметр параллелограмма равен \(25\).