Question

Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює b, а плоский кут при вершині піраміди дорівнює b. Знайдіть об’єм піраміди. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b, а плоский угол при вершине пирамиды равен b. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Ответ:

V = (1/6)·b³·(1-cosβ)·√(1+2Cosβ).

Объяснение:

Пирамида правильная, значит АВ=ВС=АС, SA=SB=SC = b.

По теореме косинусов ВС² = b² + b² - 2·b·b·cosβ = 2b²(1-cosβ).

Площадь основания правильного треугольника АВС равна:

Sabc = (√3/4)·a²  (формула). В нашем случае:

Sabc = (√3/4)·BC² = (√3/4)·2b²(1-cosβ) = (√3/2)·b²(1-cosβ).

Объем пирамиды равен : V = (1/3)·Sabc·h, где h = SO - высота пирамиды.

Найдем SO из прямоугольного треугольника ASO по теореме Пифагора.

Для этого сначала найдем отрезок АО, который равен (2/3)·АН (формула), где АН - высота правильного треугольника АВС.

АН = (√3/2)·а (формула), где а - сторона треугольника. В нашем случае

АН = (√3/2)·√(2b²(1-cosβ)). => AO = (2/3)·(√3/2)·√(2b²(1-cosβ)).

По Пифагору SO = √(SA²-AO²) или

SO = √(b²- (4/9)·(3/4)·(2b²(1-cosβ))) = b√((1+2Cosβ)/3).

Тогда объем пирамиды равен

V = (1/3)·Sabc·h = (1/3)·(√3/2)·b²(1-cosβ)·b√((1+2Cosβ)/3) или

V = (√3/6)·b³·(1-cosβ)·√((1+2Cosβ)/3) или

V = (√3/18)·b³·(1-cosβ)·√(3(1+2Cosβ)) или

V = (1/6)·b³·(1-cosβ)·√(1+2Cosβ).

Answer 2

Для знаходження об'єму піраміди, нам потрібно знати довжину бічного ребра (b) та плоский кут при вершині піраміди (b).

Знаходження об'єму правильної трикутної піраміди

Об'єм правильної трикутної піраміди можна обчислити за формулою: V = (1/3) * A * h де V - об'єм піраміди, A - площа основи піраміди, h - висота піраміди.

Знаходження площі основи піраміди

Оскільки піраміда має правильний трикутний основу, то можна використовувати формулу для знаходження площі рівностороннього трикутника: A = (sqrt(3) / 4) * a^2 де A - площа основи піраміди, a - довжина сторони основи піраміди.

Знаходження висоти піраміди

Висоту піраміди можна знайти за допомогою теореми Піфагора. Оскільки у нас відомі бічне ребро (b) та плоский кут при вершині піраміди (b), то можемо скористатись наступною формулою: h = b * sqrt(3) / 2

Обчислення об'єму піраміди

Тепер, коли у нас є всі необхідні значення, можемо обчислити об'єм піраміди, використовуючи формулу: V = (1/3) * A * h

Підставляємо значення площі основи піраміди (A) та висоти піраміди (h) в формулу і отримуємо об'єм піраміди.