Question

Докажите, что если один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы​

Answer 1

Объяснение:

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС угол B=30°, угол A=90°; ∠C=90-30=60°

Проведем из прямого угла отрезок AH так, что угол CAH=60°; ∠CHA=180-60-60=60°;
ΔCAH равносторонний⇒CH=AC;
∠AHB=180-60=120°; ∠BAH=180-120-30=30°
ΔAHB равнобедренный; значит AH=HB;
Имеем AC=AH=CH=HB;
AB=CH+HB=AC+AC=2AC;
AC=1/2AB;
AB-гипотенуза; AC-катет против угла в 30°
Что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся геометрическими свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрией.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90°, а угол A равен 30°. Пусть гипотенуза треугольника равна c, а катет, лежащий против угла A, равен b.

Тогда, согласно свойствам треугольника, сумма углов треугольника равна 180°. Значит, угол C равен 180° - 90° - 30° = 60°.

Применим теперь тригонометрические соотношения. В прямоугольном треугольнике соотношение между катетом и гипотенузой определяется функцией синуса:

sin(угол) = противолежащий катет / гипотенуза.

В нашем случае, для угла A:

sin(30°) = b / c.

Мы знаем, что sin(30°) равен 1/2, поэтому получаем:

1/2 = b / c.

Чтобы доказать, что катет, лежащий против угла A, равен половине гипотенузы, нам нужно показать, что b = c/2.

Умножим обе части уравнения на c:

1/2 * c = b.

Таким образом, мы получаем b = c/2, что доказывает утверждение.

Итак, если один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.