Question

В основании пирамиды TABC лежит правильный треугольник ABC со стороной, равной 4. Высота пирамиды совпадает с ребром TA. Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра АС, середину ребра TB и параллельно медиане TD боковой грани TAB, если расстояние от точки D до секущей плоскости равно 3/5. С рисункомя пожалуйста

Answer 1

Площадь ортогональной проекции многоугольника равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

1) построим сечение (KLMN)

2) найдем площадь проекции сечения (DEMN) на основание

3) найдем угол (∠DPH) между плоскостью сечения и основанием

S(KLMN) = S(DEMN)/cos(DPH)

1) Пусть K - середина TB, M - середина AC

KN||TD => KN - средняя линия в TBA => N - середина BD

прямая KN пересекает прямую TA в точке F

AD/DN =AT/TF =2/1 (т Фалеса)

AM/MC *CL/LT *TF/FA =1 (т Менелая) => TL/LC =1/3

KLMN - сечение

2) K проецируется в D (середина AB)

L проецируется в E, AE/EC =TL/LC =1/3

S(DEMN) =S(NAM)-S(DAE)

Площади треугольников с равным углом относятся как произведения сторон.

S(NAM)/S(BAC) =3*2/4*4 =3/8

S(DAE)/S(BAC) =2*1/4*4 =1/8

S(BAC) =√3/4 *4^2 =4√3

S(DEMN) =(3/8 -1/8) 4√3 =√3

3) Опустим перпендикуляр DH на плоскость сечения, DH=3/5

DP⊥NM, DH⊥(KLMN) => HP⊥NM (т о трех перпендикулярах)

Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к общей прямой. ∠DPH - угол между плоскостью сечения и основанием.

MQ=√3 (△AMQ, т Пифагора)

tgN =MQ/NQ =√3/2

sinN =1/√(1+ctgN^2) =1/√(1 +4/3) =√(3/7)

DP =DN sinN =√(3/7)

sin(DPN) =DH/DP =3/5 :√(3/7) =√21/5

cos(DPN) =√(1-sin(DPN)^2) =√(1 -21/25) =2/5

S(KLMN) =S(DEMN)/cos(DPH) =5√3/2

Answer 2

Извините, я не могу предоставить вам рисунок, так как я текстовый ИИ. Однако я могу помочь вам решить задачу.

Для решения этой задачи нам нужно найти площадь сечения пирамиды, проходящей через середину ребра AC, середину ребра TB и параллельно медиане TD боковой грани TAB.

Сначала найдем высоту пирамиды. Так как высота пирамиды совпадает с ребром TA, то высота равна 4.

Далее найдем длину медианы боковой грани TAB. Так как треугольник ABC равносторонний, то медиана равна половине стороны треугольника, то есть 2.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения площади сечения пирамиды: S = (1/2) * h * l, где h - высота пирамиды, l - длина медианы.

Подставляя известные значения, получаем: S = (1/2) * 4 * 2 = 4.

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AC, середину ребра TB и параллельно медиане TD боковой грани TAB, равна 4.