Question

Из точки М проведены к сфере две касательные прямые. Докажите, что отрезки от точки М до точки касания имеют равные длины.​

Answer 1

Просто опускаешь на каждую касательную перпендикуляр из центра сферы. Эти перпендикуляры будут равны(радиусу шара). И дальше просто равенство двух прямоуг.треугольников по гипотенузе(общей) и катету(радиусу). Значит, и вторые катеты(расстояние от М до точки касания) будут равны между собой.

надеюсь понятно обьяснил

Answer 2

Для доказательства того, что отрезки от точки М до точки касания сферы имеют равные длины, мы можем использовать свойство касательных прямых к сфере.

Предположим, что точка касания находится на одной из касательных прямых, проведенных из точки М. Обозначим эту точку касания как A. Обозначим также точку, в которой другая касательная прямая пересекает сферу, как B.

1. Прямоугольный треугольник Из свойств касательных к сфере, мы знаем, что прямая, проведенная из центра сферы к точке касания, является перпендикуляром к касательной прямой. Обозначим центр сферы как O. Тогда треугольник MOA является прямоугольным треугольником, так как OA является радиусом сферы, а прямая, проведенная из М, является касательной прямой.

2. По теореме Пифагора Применим теорему Пифагора к треугольнику MOA. По определению, длина отрезка MO равна радиусу сферы, обозначим его как r. Длина отрезка OA обозначим как a. Длина отрезка MA обозначим как x. Тогда по теореме Пифагора получаем:

MO^2 + OA^2 = MA^2 r^2 + a^2 = x^2

3. Рассмотрим другой треугольник Теперь рассмотрим треугольник MOB, где OB - радиус сферы, а MB - отрезок от точки M до точки пересечения второй касательной прямой с сферой. По аналогии с предыдущим треугольником, мы можем записать:

MO^2 + OB^2 = MB^2 r^2 + a^2 = MB^2

4. Доказательство Теперь сравним полученные уравнения:

r^2 + a^2 = x^2 r^2 + a^2 = MB^2

Мы видим, что оба уравнения имеют одинаковую сумму слагаемых (r^2 + a^2). Это означает, что x^2 и MB^2 равны друг другу. Таким образом, длины отрезков от точки М до точек касания сферы (MA и MB) равны.

Таким образом, мы доказали, что отрезки от точки М до точки касания сферы имеют равные длины.