Question

№1 Даны координаты точек А, В и С: А(-2; 3; 1), В(2; 5; -3), С(-1; 2; -3). Требуется: 1) составить канонические уравнения прямой АВ; 2) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ, и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; 3) найти расстояние от точки С до прямой АВ. №2Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(6; 0) и до данной прямой х = 1,5 равно числу d = 2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

Answer 1

№1 Даны координаты точек А, В и С: А(-2; 3; 1), В(2; 5; -3), С(-1; 2; -3). Требуется:

1) составить канонические уравнения прямой АВ.

Находим вектор АВ = (2-(-2); 5-3; -3-1) = (4; 2; -4).

Канонические уравнения прямой АВ:

(x + 2)/4 = (y – 3)/2 = (z – 1)/(-4).

2) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ, и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ.

Вектор АВ = (4; 2; -4) будет нормальным вектором для искомой плоскости.

Используем координаты точки С(-1; 2; -3) для уравнения плоскости.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

nx(x - xA) + ny(y - yB) + nz(z - zC) = 0

Подставим данные и упростим выражение:

4(x - (-1)) + 2(y – 2) + (-4)(z - (-3)) = 0

4x + 2y - 4z - 12 = 0, или, сократив на 2:

2x + y - 2z - 6 = 0.

3) найти расстояние от точки С до прямой АВ.

Из уравнения прямой получим:

s = 4; 2; -4   - направляющий вектор прямой;

M1 = -2; 3; 1   - точка лежащая на прямой.

Тогда

M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} = -2 - (-1); 3 - 2; 1 - (-3) = -1; 1; 4

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:

S = |M0M1 × s|

M0M1 × s = i       j       k

                  -1     1       4

                   4     2      -4 =

= i (1·(-4) - 4·2) - j (-1·(-4) - 4·4) + k (-1·2 - 1·4) =

= i (-4 – 8) - j (4 – 16) + k(-2 – 4) =

= -12; 12; -6.

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d = |M0M1×s|/|s| = √((-12)² + 12² + (-6)²)/√(4² + 2² + (-4)²) = √324/√36 = √9 = 3.

№2 Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(6; 0) и до данной прямой х = 1,5 равно числу d = 2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

Если r – расстояние от произвольной точки М до какого - либо фокуса, d – расстояние от той же точки M до соответствующей ему директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету r/d = е.

Это определение соответствует гиперболе -  плоской кривой, которая имеет уравнение (x²/a²) – (y²/b²) = 1. Это каноническое уравнение гиперболы, в нем координатные оси совпадают с осями гиперболы.

Точка А – это фокус гиперболы, имеем поэтому с = 6, а заданное соотношение расстояний d = 2 это эксцентриситет е = 2.

Находим а = с/е = 6/2 = 3.

Находим второй параметр b = √(c² - a²) = √(36 – 9) = √27 = 3√3.

Получаем каноническое уравнение гиперболы (x²/3²) – (y²/(3√3)²) = 1.

Answer 2

Задача №1: Составление канонических уравнений прямой АВ

Для составления канонических уравнений прямой АВ, мы можем использовать формулу, которая выглядит следующим образом:

x - x₁ y - y₁ z - z₁ ------- = ------- = -------, x₂ - x₁ y₂ - y₁ z₂ - z₁ где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты двух точек на прямой АВ.

Используя данную формулу и данные координат точек А(-2; 3; 1) и В(2; 5; -3), мы можем найти канонические уравнения прямой АВ.

Уравнение прямой АВ в координатной форме:

x - (-2) y - 3 z - 1 ------- = ------- = -------. 2 - (-2) 5 - 3 -3 - 1

Упрощая данное уравнение, получим:

x + 2 y - 3 z - 1 ------ = ------ = ------. 4 2 -4

Таким образом, канонические уравнения прямой АВ:

x + 2 = 2(y - 3) = -0.5(z - 1).

Задача №2: Составление уравнения плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ

Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ, мы можем использовать формулу уравнения плоскости, которая выглядит следующим образом:

Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B и C - коэффициенты плоскости, а D - свободный член.

Перпендикулярным вектором к прямой АВ будет вектор, который ортогонален любому вектору, лежащему на этой прямой. Мы можем найти такой вектор, найдя векторное произведение двух векторов, лежащих на прямой АВ.

Вектор, лежащий на прямой АВ, можно получить, вычислив разность векторов AB:

AB = B - A = (2 - (-2); 5 - 3; -3 - 1) = (4; 2; -4).

Теперь, чтобы найти вектор, ортогональный прямой АВ, мы можем взять векторное произведение AB и вектора, направленного от точки С:

n = AB x (C - A) = (4; 2; -4) x (-1 - (-2); 2 - 3; -3 - 1) = (4; 2; -4) x (1; -1; -4) = (6; -16; -6).

Теперь у нас есть вектор, ортогональный прямой АВ. Мы можем использовать его координаты для составления уравнения плоскости:

6x - 16y - 6z + D = 0.

Для определения значения D, мы можем подставить координаты точки С(-1; 2; -3) в уравнение плоскости:

6(-1) - 16(2) - 6(-3) + D = 0.

Упрощая данное уравнение, получаем:

-6 - 32 + 18 + D = 0.

D = 20.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку С(-1; 2; -3) перпендикулярно прямой АВ, будет иметь вид:

6x - 16y - 6z + 20 = 0.

Задача №3: Нахождение расстояния от точки С до прямой АВ

Для нахождения расстояния от точки С до прямой АВ, мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и прямой, которая выглядит следующим образом:

d = |AC x AB| / |AB|,

где AC и AB - векторы, соединяющие точку С с точками A и B соответственно.

Мы уже нашли вектор AB в предыдущей задаче:

AB = (4; 2; -4).

Теперь найдем вектор AC:

AC = C - A = (-1 - (-2); 2 - 3; -3 - 1) = (1; -1; -4).

Теперь мы можем вычислить расстояние d:

d = |(1; -1; -4) x (4; 2; -4)| / |(4; 2; -4)|.

Вычисляя векторное произведение и модуль вектора, получаем:

d = |(6; -16; -6)| / |(4; 2; -4)| = √(6² + (-16)² + (-6)²) / √(4² + 2² + (-4)²) ≈ 18.93 / 6 ≈ 3.15.

Таким образом, расстояние от точки С до прямой АВ составляет приблизительно 3.15 единицы длины.

Задача №2: Составление уравнения геометрического места точек

Для составления уравнения геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки А(6; 0) и до прямой x = 1.5 равно числу d = 2, мы можем использовать формулу уравнения геометрического места точек.

Для начала найдем расстояние от точки А(6; 0) до прямой x = 1.5. Расстояние между точкой и вертикальной прямой можно найти как модуль разности координат x.

Расстояние от точки А до прямой x = 1.5:

d₁ = |6 - 1.5| = |4.5| = 4.5.

Теперь составим уравнение геометрического места точек:

|d/d₁ - 1| = |2 - 1| = 1.

Упрощая данное уравнение, получаем:

|d/d₁ - 1| = 1.

Таким образом, уравнение геометрического места точек будет иметь вид:

|d/d₁ - 1| = 1.

Чтобы построить кривую, соответствующую данному уравнению, можно выбрать несколько значений d и построить соответствующие точки на координатной плоскости. Затем эти точки можно соединить линиями для получения кривой.