Question

Помогите пожалуйста Задача: Докажите, что четырехугольник-это ромб, если его диагонали ортогональны и три стороны между собой равны!

Answer 1

Ответ:

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Как частный случай параллелограмма ромб имеет все его свойства, но есть и частные.

Теорема. Диагонали ромба перпендикулярны.

Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, равны по трем сторонам (стороны равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам) . Т. е. углы АОВ, ВОС, СОD, DОА равны, а в сумме они составляют 360 градусов, поэтому каждый из них по 90.

Теорема. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, равны по трем сторонам (стороны равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам) . Поэтому равны и соответственные углы. Например, РАВО=РСВО

Признаки, с помощью которых можно доказать, что данный параллелограмм - ромб:

Теорема. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он - ромб.

Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, прямоугольные и равны по двум катетам (диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам) . Поэтому равны и их гипотенузы, т. е. все стороны параллелограмма равны между собой.

Теорема. Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то он - ромб.

Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, равны по стороне и двум углам (противоположные углы ромба равны, значит и их половины равны) . Для треугольников АВО и СВО - ВО - общая, углы АВО и СВО равны и ВАО и ВСО равны (как половины противоположных углов) . Поэтому равны и их соответственные стороны, т. е. все стороны параллелограмма равны между собой.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник является ромбом, когда его диагонали ортогональны и три стороны между собой равны, мы можем использовать свойства ромба.

Давайте обозначим четырехугольник как ABCD, где стороны AB, BC и CD равны между собой, а диагонали AC и BD ортогональны (перпендикулярны друг другу).

1. Равенство сторон: Дано, что сторона AB равна стороне BC, а сторона BC равна стороне CD. Из этих условий следует, что AB = BC = CD.

2. Ортогональные диагонали: Дано, что диагонали AC и BD ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Это означает, что угол между этими диагоналями равен 90 градусам.

3. Равенство диагоналей: Поскольку у нас ортогональные диагонали, длина диагоналей AC и BD также будет равна. Обозначим длину диагоналей как d.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. У него есть две равные стороны AB и BC. Также у нас есть перпендикулярные диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке B.

4. По свойству ортогональных диагоналей: В любом четырехугольнике с ортогональными диагоналями и равными диагоналями точка их пересечения будет серединой для каждой из диагоналей. То есть точка B является серединой диагонали AC, и точка B является серединой диагонали BD.

5. Равенство сторон: Из свойства серединной линии в треугольнике следует, что сторона AB равна половине диагонали AC, и сторона BC равна половине диагонали BD. Но по условию задачи сторона AB равна стороне BC, поэтому половина диагонали AC также равна половине диагонали BD.

6. Равенство диагоналей: Из пункта 5 следует, что длина диагонали AC равна длине диагонали BD, поскольку обе диагонали имеют одинаковое удвоение сторон AB и BC.

Ит