Question

Даю 100 баллов!!! Две задачи по геометрии ОГЭ 24.Окружности, радиусы которых равны r и R, касаются внутренним образом в точке O. Продолжение хорды OB меньшей окружности пересекают большую окружность в точке B1, а продолжение хорды OC меньшей окружности пересекает большую окружность в точке C1. Докажите, что четырехугольник BB1C1C - трапеция.25.В трапеции ABCD, BC || AD, биссектрисы угла D перпендикулярна боковой стороне AB и пересекает ее в точке F. Найдите отношение площади четырехугольника BCDF к площади треугольника AFD, если AF:FB = 2:1​

Answer 1

Ответ:

25. 7 : 8

Объяснение:

24. Проведём общую касательную к окружностям в точке O. Для меньшей окружности угол между касательной и хордой OC равен половине дуги OC, то есть равен вписанному углу ∠OBC. Для большей окружности угол между касательной и хордой OC₁ равен половине дуги OC₁, то есть равен вписанному углу ∠OB₁C₁. Поскольку хорды OC и OC₁ лежат на одной прямой, угол между касательной и этими хордами один и тот же. Углы ∠OBC и ∠OB₁C₁ равны одному и тому же углу, значит, они равны между собой. Тогда BC || B₁C₁.

По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin{\angle{O}}}=2r,\dfrac{B_1C_1}{\sin{\angle{O}}}=2R\Rightarrow \dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{r}{R}$. Поскольку радиусы не равны, то и BC ≠ B₁C₁.

Противолежащие стороны четырёхугольника параллельны и не равны, следовательно, это трапеция, что и требовалось доказать.

25. Продлим биссектрису DF до пересечения с прямой BC (точку пересечения обозначим S), проведём высоту CH в треугольнике DCS. Обозначим площади следующим образом: $S_{ADF}=S_1,S_{BCDF}=S_2,S_{BFC}=S_3$.

Заметим, что ∠ADS = ∠DSC как накрест лежащие, ∠ADS = ∠SDC по условию. Тогда ∠DSC = ∠SDC ⇒ треугольник DCS равнобедренный ⇒ DH = HS.

Треугольники ADF и BSF подобны по вертикальным углам ∠AFD и ∠BFS и накрест лежащим углам ∠ADF и ∠FSB с коэффициентом подобия k = AF : FB = 2. Тогда и DF : FS = 2, а $\dfrac{S_1}{S_3}=k^2=4\Leftrightarrow S_1=4S_3$.

Треугольники CHS и BFS подобны по общему углу ∠S и соответственным прямым углам ∠CHS и ∠BFS. Коэффициент подобия $k=\dfrac{HS}{FS}=\dfrac{\frac{DS}{2}}{FS}=\dfrac{DS}{2FS}=\dfrac{DF+FS}{2FS}=\dfrac{DF}{2FS}+\dfrac{FS}{2FS}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$. Тогда $\dfrac{S_{CHS}}{S_3}=k^2=\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow S_{CHS}=\dfrac{9}{4}S_3$.

CH — медиана треугольника DCS, значит, $S_{CHD}=S_{CHS}\Rightarrow S_{DCS}=2S_{CHS}=\dfrac{9}{2}S_3$. Но $S_{DCS}=S_2+S_3\Leftrightarrow S_2=S_{DCS}-S_3=\dfrac{9}{2}S_3-S_3=\dfrac{7}{2}S_3$.

Искомое отношение $\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{\frac{7}{2}S_3}{4S_3}=\dfrac{7}{8}$.

Answer 2

24. Чтобы доказать, что четырехугольник BB1C1C - трапеция, нам нужно показать, что BB1 || C1C и B1C1 || BC.

Поскольку окружности касаются внутренним образом в точке O, то р1 = r2 = r и OB ⊥ B1C1, OC ⊥ B1C1. Таким образом, B1C1 - диаметр меньшей окружности.

Так как OB ⊥ B1C1, то угол OBB1 - прямой. Аналогично OC ⊥ B1C1, поэтому угол OC1C - прямой. Таким образом, углы OBB1 и OC1C - прямые углы.

Из этого следует, что BB1 || C1C.

Теперь докажем, что B1C1 || BC. Поскольку OB ⊥ B1C1 и OC ⊥ B1C1, то B1C1 - диаметр меньшей окружности. Таким образом, угол B1OC1 - прямой.

Так как угол B1OC1 - прямой, то углы B1OC1 и B1C1O равны.

Из этого следует, что B1C1 || BC.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник BB1C1C - трапеция.

25. Поскольку BC || AD, то угол AFD = угол BCF и угол DAF = угол DCF.

Также, поскольку биссектриса угла D перпендикулярна боковой стороне AB и пересекает ее в точке F, то треугольник AFD равнобедренный.

Таким образом, площадь четырехугольника BCDF равна площади треугольника AFD, умноженной на 2 (поскольку AF:FB = 2:1).

Отношение площади четырехугольника BCDF к площади треугольника AFD равно 2:1.