Question

В треугольнике ABC выполняется равенство BC = 2AC. На стороне BC выбрана такая точка D, что ∠CAD = ∠CBA. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла C в точке E. Докажите, что AE = AB.

Answer 1

M - середина BC

BM=MC=AC (по условию)

△ACM - равнобедренный, углы при основании равны, ∠CMA=∠CAM=a

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним.

∠MCF=2a => ∠FCE=∠MCF/2=a

=> ∠BMA=∠ACE (смежные с равными)

△BMA=△ACE (по стороне и прилежащим углам) => AB=AE

Answer 2

Для начала, рассмотрим треугольник ABC. У нас есть равенство BC = 2AC, и мы знаем, что ∠CAD = ∠CBA. Давайте воспользуемся этой информацией, чтобы найти связь между сторонами и углами треугольника.

Доказательство AE = AB:

1. Используем биссектрису угла C: Поскольку ∠CAD = ∠CBA, прямая AD делит угол C пополам. Таким образом, у нас есть биссектриса угла C, которая пересекает сторону AB в точке E.

2. Рассмотрим треугольники ADE и ABC: Теперь давайте рассмотрим треугольники ADE и ABC. Мы знаем, что угол CAD равен углу CBA, и углы ADE и ABC являются вертикальными (поскольку AD параллельно BC, и AE - биссектриса угла C). 3. Используем равенство сторон: Поскольку BC = 2AC, мы можем использовать это равенство для того, чтобы выразить стороны треугольника ABC через другие. Давайте используем это равенство, чтобы найти связь между сторонами треугольника ADE и ABC.

4. Сравниваем стороны: Так как AD || BC, по теореме о параллельных линиях мы можем сделать вывод, что отношение сторон треугольников ADE и ABC одинаково. То есть, мы можем сказать, что AE/AB = AD/AC.

5. Используем равенство углов: Мы также знаем, что ∠CAD = ∠CBA, поэтому треугольники ADE и ABC подобны по углам.

6. Заключаем AE = AB: Из подобия треугольников и равенства отношений сторон следует, что AE = AB.

Таким образом, мы доказали, что AE = AB в треугольнике ABC.