Question

4. Площадь боковой поверхности правильной четырёх- угольной призмы равна 48 м², а площадь полной по- верхности 57 м². Найдите диагональ боковой грани призмы.

Answer 1

Ответ:

Диагональ боковой грани призмы равна $\dfrac{\sqrt{146} }{2}$ м.

Объяснение:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна 48 м², а площадь полной поверхности равна 57м². Найти диагональ боковой грани.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCD A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

Надо определить диагональ $BC_{1}$ боковой грани призмы.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме боковой поверхности призмы и двух площадей оснований.

В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат.

Тогда найдем площадь квадрата

$S{_{ABCD}}=(57-48):2=9:2=\dfrac{9}{2}$  м².

Площадь квадрата определяется по формуле:

$S=a^{2} ,$ где а -сторона квадрата.

Тогда

$a^{2} =\dfrac{9}{2} ;\\\\a=\sqrt{\dfrac{9}{2} } =\dfrac{3}{\sqrt{2} } =\dfrac{3\sqrt{2} }{2}$  м.

Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Найдем периметр квадрата по формуле

$P=4a,$ где а -сторона квадрата.

$P= 4\cdot \dfrac{3\sqrt{2} }{2} =2\cdot3\sqrt{2} =6\sqrt{2}$ м.

Тогда найдем высоту призмы

$48= 6\sqrt{2} \cdot H;\\\\H= \dfrac{48}{6\sqrt{2} } =\dfrac{8}{\sqrt{2} } =\dfrac{8\sqrt{2} }{2} =4\sqrt{2}$ м.

Рассмотрим Δ $BCC_{1}$ - прямоугольный .

$BC = \dfrac{3\sqrt{2} }{2}$   м,  $CC_{1} =H= 4\sqrt{2}$ м.

Применим теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$BC_{1} ^{2} =BC^{2} +CC_{1} ^{2} ;\\BC_{1}=\sqrt{BC^{2} +CC_{1} ^{2}} ;\\BC_{1}=\sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\right)^{2}+(4\sqrt{2})^{2} } =\sqrt{\dfrac{9\cdot2}{4}+16\cdot2 } =\sqrt{\dfrac{18}{4} +32} =\sqrt{\dfrac{18+32\cdot4}{4} } =\\\\=\sqrt{\dfrac{18+128}{4} } =\sqrt{\dfrac{146}{4} } =\dfrac{\sqrt{146} }{2}$

Тогда диагональ боковой грани призмы равна $\dfrac{\sqrt{146} }{2}$ м.

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы для вычисления площади боковой поверхности и площади полной поверхности правильной четырёхугольной призмы.

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы можно найти, умножив периметр основания на высоту призмы (h): Площадь боковой поверхности = периметр основания × h

Площадь полной поверхности можно найти, сложив площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания: Площадь полной поверхности = площадь боковой поверхности + 2 × площадь основания

В нашем случае площадь боковой поверхности равна 48 м², а площадь полной поверхности равна 57 м².

Подставим известные значения в формулы и обозначим периметр основания через "p", а площадь основания через "S": 48 = p × h 57 = 48 + 2S

Теперь нужно найти значения периметра основания "p" и площади основания "S".

Поскольку у нас правильная четырёхугольная призма, периметр основания равен 4 × a, где "a" - длина стороны основания.

Также площадь основания равна a².

Подставим значения в уравнение: 57 = 48 + 2(a²)

Перенесем все в одну сторону: 2(a²) = 57 - 48 2(a²) = 9 a² = 9/2 a = √(9/2) a = 3/√2

Теперь, когда у нас есть значение стороны основания "a", можем найти периметр основания "p": p = 4a p = 4 × (3/√2) p = (12/√2)

Теперь можем найти высоту призмы "h" из первого уравнения: 48 = (12/√2) × h h = 48 / (12/√2) h = 48 × (√2/12) h = 4√2

Таким образом, мы получили значение высоты призмы "h" равное 4√2.

Чтобы найти диагональ боковой грани призмы, нам понадобится использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного диагональю, высотой и сторон