Question

На стороне АВ параллелограмма ABCD площади S отметили точку М так, что АМ: МВ=5:3. Каковы площади треугольников СMD, AMD, BMC?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

. Каковы площади треугольников СMD, AMD, BMC?

Answer 2

Пусть сторона параллелограмма AB имеет длину a, а высота, опущенная на эту сторону, имеет длину h. Тогда его площадь равна S = a * h. Обозначим через x длину отрезка AM и через y длину отрезка BM.

Из условия задачи, AM : MV = 5 : 3, следует, что AM = 5x / 8 и MV = 3x / 8. Так как AM + MV = a, то получаем, что a = 8x / 8 = x. Аналогично, из того, что BM : MV = 3 : 5, следует, что BM = 3y / 8 и MV = 5y / 8, и так как BM + MV = CD = a, то y = 8a / 8 - 3y / 8 = 5a / 8.

Рассмотрим треугольник AMD. Его высота равна h1 = h * AM / a, а основание равно AM. Следовательно, площадь этого треугольника равна S1 = AM * h1 / 2 = (5x / 8) * (h * 5x / 8a) / 2 = 5hx^2 / 32a.

Аналогично, для треугольника BMC имеем h2 = h * BM / a, основание BM, и S2 = BM * h2 / 2 = (3y / 8) * (h * 3y / 8a) / 2 = 9hy^2 / 128a.

Рассмотрим треугольник CMD. Он является вычитанием треугольников AMD и BMC из треугольника ABC, поэтому его площадь равна S - S1 - S2. Заменяем значения площадей S1 и S2, и получаем:

S - S1 - S2 = a * h - 5hx^2 / 32a - 9hy^2 / 128a = ah * (1 - 5x^2 / 32a^2 - 9y^2 / 128a^2).

Подставляем выражения для a, x и y в последнее выражение, и получаем:

S - S1 - S2 = ah * (1 - 5/64 - 9/128) = ah * (55/256).

Таким образом, площадь треугольника CMD равна S3 = ah * (55/256), площадь треугольника AMD равна S1 = 5hx^2 / 32a = 5h^2x^2 / 256a, а площадь треугольника BMC равна S2 = 9hy^2 / 128a = 9h^2y^2 / 128a.