Question

Биссектриса угла при вершине равнобедренного  треугольника в 2 раза меньше основания этого треугольника. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону, если длина боковой стороны равна 3. 

Answer 1

В прямоугольной трапеции ABCD заданы основания AD = 8 и BC = 2 .Биссектриса прямого угла трапеции пересекает сторону CD в точке K, при этом CK : KD =1: 2 . Найдите площадь трапеции.Биссектриса ВН угла при вершине равнобедренного тр-ка является его высотой и медианой. Прямоугольный тр-к АВН равнобедренный, так как ВН=АН. АВ=3, тогда по Пифагору 2*ВН² =АВ² = 9 и ВН = 3√2/2. Тогда площадь тр-ка АВС Sabc = 0,5*АС*ВН=АН*ВН=ВН² = 18/4 = 9/2. Но эта же площадь равна 0,5*ВС*АК=9/2. Тогда АК = 9/3 =3.
Второй вариант решения:
Если треугольник АВН - равнобедренный (АН=ВН), то <A=45°. Тогда и <С=45° (так как тр-к АВС - равнобедренный - дано), а <В=90°. Следовательно, высота АК, опущенная на боковую сторону ВС, совпадает со стороной АВ (АВ - катет треугольника АВС) и равна этой стороне, то есть АК = 3.
Ответ в приложенном рисунке

Answer 2

Пусть $ABC$ - равнобедренный треугольник, в котором биссектриса угла при вершине $B$ равна $BD$, а основание равно $AC$. Пусть $E$ - точка на стороне $AB$, на которую опущена высота $EF$ из вершины $F$ на сторону $BC$.

Так как $AB = BC$, то углы $ABC$ и $ACB$ равны. Из этого следует, что $BD$ является биссектрисой угла $ABC$ и угол $ABD$ равен углу $CBD$.

По условию, $BD = \frac{1}{2}AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AC = BC$, поэтому $BD = \frac{1}{2}BC$.

Треугольник $BDF$ является прямоугольным, так как угол $BFD$ - это угол между высотой и боковой стороной. Из прямоугольного треугольника $BDF$ следует, что $BD^2 + DF^2 = BF^2$.

Так как $BD = \frac{1}{2}BC$ и $BC = 3$, то $BD = \frac{3}{2}$. Пусть $h$ - длина высоты, опущенной на сторону $BC$. Тогда $DF = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь мы можем записать уравнение:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^2 + h^2 = BF^2$$

Но мы также знаем, что биссектриса угла $ABC$ делит сторону $AC$ на две равные части. Поэтому $AF = FC = \frac{3}{2}$. Следовательно, $BF = 3$.

Подставляя значения в уравнение, получаем:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^2 + h^2 = 3^2$$

Отсюда следует, что:

$$h^2 = 3^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{27}{4}$$

Таким образом, высота, опущенная на сторону $BC$, равна:

$$h = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Итак, ответ: $h = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.