Question

Как найти значения выражения:(9 + 80^(1/2))^(1/3) + (9 - 80^(1/2))^(1/3) ?

Answer 1

Давайте разберемся с этим выражением:

\[ (9 + 80^{1/2})^{1/3} + (9 - 80^{1/2})^{1/3} \]

Для начала, давайте рассмотрим подвыражение внутри каждого из двух скобочных выражений: \( 9 + 80^{1/2} \) и \( 9 - 80^{1/2} \).

1. Вычисление внутренних выражений: - \( 80^{1/2} \) означает квадратный корень из 80. - \( 9 + 80^{1/2} \) и \( 9 - 80^{1/2} \) - это две части выражения.

\[ 9 + 80^{1/2} \] \[ 9 + \sqrt{80} \]

Мы можем продолжить, вычислив значение подкоренного выражения:

\[ 9 + \sqrt{80} = 9 + 4\sqrt{5} \]

Теперь мы знаем значения внутренних выражений, и мы можем вернуться к основному выражению:

\[ (9 + 4\sqrt{5})^{1/3} + (9 - 4\sqrt{5})^{1/3} \]

2. Приведение к общему знаменателю: - Давайте заметим, что у нас есть сумма двух кубических корней. - Мы можем использовать формулу \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \).

Применим эту формулу:

\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

В данном случае, \( a = (9 + 4\sqrt{5})^{1/3} \) и \( b = (9 - 4\sqrt{5})^{1/3} \).

\[ (a + b)^3 = (9 + 4\sqrt{5}) + 3(9 + 4\sqrt{5})^{2/3}(9 - 4\sqrt{5})^{1/3} + 3(9 + 4\sqrt{5})^{1/3}(9 - 4\sqrt{5})^{2/3} + (9 - 4\sqrt{5}) \]

3. Подстановка значений: - Подставим значения \( a \) и \( b \) в выражение:

\[ (9 + 4\sqrt{5}) + 3(9 + 4\sqrt{5})^{2/3}(9 - 4\sqrt{5})^{1/3} + 3(9 + 4\sqrt{5})^{1/3}(9 - 4\sqrt{5})^{2/3} + (9 - 4\sqrt{5}) \]

4. Сокращение: - Многие члены могут упроститься, так как они повторяются.

Этот процесс может быть сложным для выполнения вручную из-за сложности алгебраических вычислений и корней третьей степени. Однако, вы можете воспользоваться калькулятором или программой для символьных вычислений, чтобы получить приближенное численное значение данного выражения.